Бусинка на спирали

При установившемся движении потенциальная энергия, теряемая на одном витке, равна работе силы трения; силу реакции найдите как сумму вертикальной и центростремительной составляющих.

\(v=\dfrac{1}{2\pi}\sqrt{\dfrac{g}{R}}\sqrt[4]{\left(4\pi^2R^2+h^2\right)\left(\dfrac{h^2}{\mu^2}-4\pi^2R^2\right)}\).

9-3. Мы имеем типичный пример системы, самостоятельно приходящей в состояние динамического равновесия. Вначале бусинка разгоняется,

растет скорость, а вместе с ней и сила реакции опоры \(\vec{N}\), направленная перпендикулярно касательной к участку спирали, следовательно, возрастает и сила трения \(\vec{F}\), направленная вдоль касательной к траектории в сторону противоположную скорости, причем модуль этой силы определяется известным законом \(F = \mu N\). Через определенное время бусинка будет двигаться с установившейся скоростью. Опустившись на один виток, бусинка расходует запас потенциальной энергии на работу против сил трения (кинетическая энергия при этом больше не меняется)

\[mgH = FS = \mu N \sqrt{4\pi^2 R^2 + H^2},\tag{1}\]

где \(S = \sqrt{4\pi^2 R^2 + H^2}\) — длина одного витка спирали. Разложим силу реакции \(\vec{N}\) на две составляющие:

\[N_1 = mg \cos \alpha\]

- в вертикальной плоскости \(\Pi\), касательной к участку спирали, и

\[N_2 = \frac{m(v \cos \alpha)^2}{R}\]

- в горизонтальной плоскости. Выражения для этих компонент получены из следующих рассуждений: в вертикальном направлении движение бусинки является равномерным со скоростью \(v \sin \alpha\), следовательно в проекции на любую ось, лежащую в вертикальной плоскости, касательной к траектории сумма всех проекций сил, действующих на бусинку, равна нулю; в горизонтальной плоскости движение бусинки является равномерным движением по окружности радиуса \(R\) со скоростью \(v \cos \alpha\), следовательно, бусинка движется с центростремительным ускорением, которое ей сообщает компонента силы реакции \(N_2\). Таким образом, модуль силы реакции определяется выражением

\[N = \sqrt{N_1^2 + N_2^2} = \sqrt{m^2 g^2 \cos^2 \alpha + \frac{m^2 v^4 \cos^4 \alpha}{R^2}}.\tag{2}\]

В этих выражениях \(\alpha\) - угол между касательной к траектории и горизонтом. Из простых геометрических построений находим

\[\operatorname{tg}\alpha = \frac{H}{2\pi R}, \quad \cos^2\alpha = \frac{1}{1 + \operatorname{tg}^2\alpha} = \frac{4\pi^2 R^2}{4\pi^2 R^2 + H^2}.\tag{3}\]

Подставляя полученные выражения в (1), получаем уравнение относительно скорости \(v\)

\[\frac { g ^ { 2 } H ^ { 2 } } { \mu ^ { 2 } } = 4 \pi ^ { 2 } R ^ { 2 } g ^ { 2 } + \frac { 1 6 v ^ { 4 } \pi ^ { 4 } R ^ { 2 } } { 4 \pi ^ { 2 } R ^ { 2 } + H ^ { 2 } } .\]

Разрешая уравнение, находим искомую скорость установившегося движения бусинки

\[v = \frac { 1 } { 2 \pi } \sqrt { \frac { g } { R } } \sqrt [ 4 ] { \left( 4 \pi ^ { 2 } R ^ { 2 } + H ^ { 2 } \right) \left( \frac { H ^ { 2 } } { \mu ^ { 2 } } - 4 \pi ^ { 2 } R ^ { 2 } \right) } .\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.