Аквариум

Прохождение узкого пучка света через участок стенки аквариума можно рассматривать как последовательное преломление на плоско-выпуклой линзе с радиусом кривизны \(R\), на плоско-параллельной пластине толщиной \(\delta\) и на плоско-вогнутой линзе с радиусом кривизны \(R - \delta\) (рис. 210). Прямая, соединяющая вершину рассматриваемого участка \(P\) с центром аквариума \(O\), служит главной оптической осью. Рассмотрим луч пучка, падающий параллельно этой оси, и найдём точку его пересечения с осью после прохождения стенки. Эта точка является фокусом.

После преломления на первой линзе луч идёт к точке \(S_1\) (рис. 211), удаление которой от линзы \[F_1 = \dfrac{R}{n - 1}. \qquad (256)\] Далее луч проходит через плоско-параллельную пластину, смещающую точку пересечения луча с осью на некоторую величину \(\Delta\), которую можно найти из треугольника \(ABC\) (рис. 212) по теореме синусов: \[\dfrac{BC}{\sin(\alpha - \beta)} = \dfrac{AB}{\sin(180^\circ - \alpha)},\quad\text{или}\quad \dfrac{\Delta}{\sin(\alpha - \beta)} = \dfrac{\delta}{\cos\beta\cdot\sin\alpha}.\] Учитывая что рассматриваются лишь лучи, близкие к оптической оси, так что \(\sin\alpha \approx \alpha\), \(\sin\beta \approx \beta\), \(\cos\alpha \approx \cos\beta \approx 1\), а также \(\alpha/\beta \approx n\), из последнего равенства найдём \[\Delta = \dfrac{\delta\sin(\alpha - \beta)}{\cos\beta\cdot\sin\alpha} \approx \delta\dfrac{n - 1}{n}. \qquad (257)\] В точку \(S_2\) луч не попадает, поскольку преломляется примыкающей к пластине плоско-вогнутой линзой, фокусное расстояние которой \[F_2 = -\dfrac{R - \delta}{n - 1}. \qquad (258)\] Дальнейший ход луча показан на рис. 213. Луч выходит из системы так, как будто бы идёт из точки \(S_3\).

Расстояние от \(S_3\) до линзы, взятое со знаком «минус», является фокусным расстоянием стенки аквариума \(F\). Для показанной на рис. 213 линзы \(S_3\) является мнимым изображением мнимого источника \(S_2\). Для нахождения \(F\) применим формулу линзы: \[\dfrac{1}{F} - \dfrac{1}{F_1 + \Delta - \delta} = \dfrac{1}{F_2},\] или, с учётом формул (256), (257) и (258), \[\dfrac{1}{F} = -\dfrac{n - 1}{R - \delta} + \dfrac{1}{\dfrac{R}{n - 1} + \delta\dfrac{n - 1}{n} - \delta} \approx -\dfrac{n - 1}{nR^2}\delta,\] поскольку \(\delta \ll R\). Итак,

\[F = \dfrac{n}{n - 1}\cdot\dfrac{R^2}{\delta} = -5{,}3\text{ м},\] то есть стенка аквариума подобна рассеивающей линзе.

Найдём фокусное расстояние толстого аквариума. Для этого нужно рассматривать преломление луча на четырёх поверхностях 1, 2, 3 и 4 (рис. 214). Нужно применить формулу сферической поверхности \[\dfrac{n_1}{a} - \dfrac{n_2}{b} = \dfrac{n_1 - n_2}{R}. \qquad (259)\]

Луч падает на первую поверхность параллельно главной оптической оси, поэтому \(a = -\infty\), \(b = x_1\) — расстояние от первой поверхности до точки схождения преломлённых лучей \(X_1\), \(n_1 = 1\), \(n_2 = n\) (рис. 215). Из формулы (259) получаем \[\dfrac{n}{x_1} = \dfrac{n - 1}{R},\] откуда \[x_1 = \dfrac{n}{n - 1}R.\] Найдём расстояние от точки \(X_1\) до второй поверхности (рис. 215): \[x_2 = x_1 - \dfrac{R}{2} = \dfrac{n + 1}{2(n - 1)}R.\] Применяем формулу (259) для второй поверхности (рис. 216), учитывая, что в этом случае \(n_1 = n\), \(n_2 = 1\): \[\dfrac{n}{x_2} - \dfrac{1}{x_3} = \dfrac{n - 1}{R/2}.\] Отсюда находим положение мнимого изображения, даваемого этой поверхностью: \[x_3 = -\dfrac{R}{2}\cdot\dfrac{n + 1}{n - 1}.\] Найдём расстояние от полученного изображения до третьей поверхности: \[x_4 = -x_3 + R = \dfrac{3n - 1}{2(n - 1)}R.\] Снова применим формулу (259) для нахождения положения нового изображения (рис. 217): \[-\dfrac{1}{x_4} - \dfrac{n}{x_5} = \dfrac{1 - n}{-R/2},\] откуда \[x_5 = \dfrac{3n - 1}{6(1 - n)}R.\] Найдём расстояние от этого изображения до последней поверхности: \[x_6 = -x_5 + \dfrac{R}{2} = \dfrac{3n - 2}{3(n - 1)}R.\] И снова применим формулу (259) для нахождения положения фокуса всей системы (рис. 218): \[-\dfrac{n}{x_6} - \dfrac{1}{x_7} = \dfrac{n - 1}{-R},\] откуда \[x_7 = \dfrac{3n - 2}{2(1 - n)}R.\] Это и есть искомое фокусное расстояние \[F = -\dfrac{3n - 2}{2(n - 1)}R \approx -23{,}3\text{ см}.\] Толстый аквариум подобен рассеивающей линзе.

Для нахождения положения \(S_1\) источника \(S\) рассмотрим два луча 1 и 2, на пересечении которых и находится \(S_1\) (рис. 219). Из подобия треугольников с вершинами в точках \(O\) и \(F\) получим \[\dfrac{h}{h_0} = \dfrac{2R}{s - R};\qquad \dfrac{h_3}{h_0} = \dfrac{|F|}{|F| - s}, \qquad (260)\] где \(h_0\) — размер изображения, \(h\) — размер предмета, \(h_3\) — расстояние от оптической оси до точки пересечения луча 1 с внешней поверхностью аквариума (рис. 219). При выводе соотношений предполагалось, что углы между всеми изображёнными на рис. 219 лучами и главной оптической осью малы. Из соотношений (260) получим

\[s = \dfrac{|F|R\left(2 + \dfrac{h}{h_3}\right)}{|F|\dfrac{h}{h_3} + 2R}. \qquad (261)\] Пользуясь подобием треугольников на рис. 215, 216 и 217, можно получить следующие соотношения между расстояниями от оптической оси до точек пересечения лучей со сферами: \[\dfrac{h}{h_1} = \left|\dfrac{x_1}{x_2}\right|;\qquad \dfrac{h_1}{h_2} = \left|\dfrac{x_3}{x_4}\right|;\qquad \dfrac{h_2}{h_3} = \left|\dfrac{x_5}{x_6}\right|.\] Перемножая эти соотношения, получим \[\dfrac{h}{h_3} = \left|\dfrac{x_1}{x_2}\cdot\dfrac{x_3}{x_4}\cdot\dfrac{x_5}{x_6}\right| = \dfrac{n}{3n - 2}. \qquad (262)\] Осталось в формулу (261) подставить соотношение (262), а также выражение для \(F\): \[s = \dfrac{7n - 4}{5n - 4}R = 18\text{ см}.\]