Пластина, вырезанная из цилиндра

Лучи близки к оси, углы малы: закон преломления переходит в \(\beta=\alpha/n\). Найдите точку пересечения вышедшего луча с \(OO'\) и сравните два случая: луч падает на правую поверхность сразу или отражается от плоскости пластины.

Рассмотрим луч, падающий на цилиндр в точке \(A\) под малым углом \(\alpha=\angle ACO\) (нормаль к поверхности совпадает с радиусом \(CA\)). По закону Снеллиуса \(\sin\alpha=n\sin\beta\), т.е. при малых углах \(\beta=\alpha/n\). Треугольник \(ABC\) равнобедренный, поэтому \(\angle C=\pi-2\beta\).

Возможны два случая. Если луч после первого преломления сразу попадает на правую поверхность в точке \(B\), то угол \(z=\angle BCO'=2\beta-\alpha\) должен быть положительным, т.е. \(\alpha\le 2\beta=2\alpha/n\), откуда \(n\le 2\). Условие не зависит от \(\alpha\), поэтому для всех лучей выполнено одновременно или не выполнено.

После второго преломления луч выходит под углом \(\alpha\) к нормали \(CB\), а его отклонение от направления \(BG\parallel OO'\) равно \(\delta=\alpha-z=2(\alpha-\beta)\). Из геометрии \(|BO'|=Rz\) и \(|BO'|\approx|FO'|\,\delta\), отсюда \[|FO'|=\frac{Rz}{\delta}=R\,\frac{2\beta-\alpha}{2(\alpha-\beta)}=R\,\frac{2-n}{2(n-1)}.\] Во втором случае (при \(n>2\), \(z<0\)) луч после отражения от нижней плоскости пластины выходит симметрично; точка пересечения его продолжения с \(OO'\) оказывается по другую сторону от \(O'\) на расстоянии \(R\,\dfrac{n-2}{2(n-1)}\) — формула та же с модулем.

Ответ: при \(n<2\) лучи пересекаются в точке \(F\) правее \(O'\) на расстоянии \(R(2-n)/(2n-2)\); при \(n>2\) пересекаются продолжения лучей, левее \(O'\) на расстояние \(R(n-2)/(2n-2)\); при \(n=2\) все лучи выходят из точки \(O'\). Оптическая система собирает пучок в линию (фокальную), перпендикулярную плоскости рисунка, а не в точку.