Робот на надувном шаре

Сила Кулона направлена вдоль радиуса и не может создать нужного центростремительного ускорения по окружности, не лежащей на экваторе. Значит, нужна сила трения. Сравните требуемую центростремительную силу с предельной силой трения \(\mu N\).

Пусть радиус шара \(R\), радиус траектории робота \(r=R/s\), угол \(\alpha\) задаёт широту окружности: \(r=R\sin\alpha\), откуда \(\sin\alpha=1/s\), \(\cos\alpha=\sqrt{s^2-1}/s\). Сила Кулона \(F_k=k|Qq|/R^2\) и сила реакции опоры \(N\) направлены по линии «робот–центр шара», поэтому без силы трения их равнодействующая не может быть направлена к центру окружности. Сила трения \(F_{тр}\) удерживает робота на линии и разгоняет колёса.

Уравнения движения по окружности радиуса \(r\) с центростремительным ускорением \(V^2/r\): \[F_{тр}\sin\alpha + N\cos\alpha = F_k\cos\alpha, \qquad F_k\sin\alpha + F_{тр}\cos\alpha - N\sin\alpha = \frac{mV^2}{r}.\] Критическое состояние \(F_{тр}=\mu N\) даёт \(N=\dfrac{F_k\cos\alpha}{\cos\alpha+\mu\sin\alpha}\), и после подстановки \[\frac{\mu F_k}{\cos\alpha+\mu\sin\alpha}=\frac{mV^2}{R\sin\alpha}.\] Подставляя \(F_k=k|Qq|/R^2\), получаем критический радиус \[R=\frac{k|Qq|\mu\sin\alpha}{mV^2(\cos\alpha+\mu\sin\alpha)}=\frac{k|Qq|\mu}{mV^2\left(\sqrt{s^2-1}+\mu\right)}.\] При надувании \(F_k\sim 1/R^2\) убывает быстрее центростремительной силы \(\sim 1/R\), поэтому трения перестаёт хватать, и робот сносится на окружность большего радиуса (с большим \(s'\)).

Когда \(s'=1\) (робот на экваторе), трение исчезает, и уравнение движения принимает вид \(F_k-N=mV^2/R\). Дальнейшее надувание приводит к обращению \(N\) в ноль при \(\dfrac{k|Qq|}{R^2}=\dfrac{mV^2}{R}\), т.е. при \(R=\dfrac{k|Qq|}{mV^2}\): робот движется по орбите как спутник, с первой космической скоростью \(\sqrt{k|Qq|/(Rm)}\), аналогично гравитации. Дальше шар продолжает расти, скорость робота оказывается между первой и второй космической, траектория — эллипс, робот касается шара эпизодически. Когда \(V^2=\dfrac{2k|Qq|}{mR}\), т.е. \(R=\dfrac{2k|Qq|}{mV^2}\), скорость превышает вторую космическую и робот покидает шар навсегда.