Задачи › Метод изображений

Заряд над заземлённой плоскостью

  1. Заряд над заземлённой плоскостью

    Санкт-Петербургская 2013/14, 11 кл.
    7/10

    Металлическая плоскость \(AA'\) снабжена датчиком, который регистрирует электрический заряд \(Q\) её заштрихованной части (полуплоскости, см. рис. 1). Плоскость заземлена, её размеры велики. Над плоскостью стали медленно перемещать точечный заряд \(q\). В результате его взаимодействия с плоскостью электроны металла сложным образом перераспределялись по плоскости. При различных значениях координаты \(x\) точечного заряда дан график зависимости показаний датчика \(Q(x)\). Определить траекторию заряда, если известно, что это некоторый четырёхугольник, расположенный в плоскости рисунка. Минимальная высота заряда над плоскостью при движении по данной траектории равна \(h_0\).

    Рисунок
    Рисунок
    ▶Показать разборСкрыть разбор
    Подсказка

    Ток индукции на заземлённой плоскости эквивалентен зеркальному заряду \(-q\); показание датчика зависит только от угла, под которым видно заряд из точки \(O\). Постоянные участки графика соответствуют прямолинейным отрезкам траектории, проходящим через \(O\).

    Ответ

    Траектория — четырёхугольник, составленный из отрезков, у каждого из которых продолжение проходит через точку \(O\); положение отрезков определяется постоянством \(Q\) на горизонтальных участках графика и масштабом \(h_0\) (рис. 11 официального решения).

    Решение

    Заряд \(q\) над заземлённой плоскостью индуцирует на ней электроны, суммарный заряд которых равен \(-q\) (поток через замкнутую поверхность вокруг плоскости по теореме Гаусса). Поле над плоскостью совпадает с полем зеркального изображения \(-q\) под плоскостью. При \(x=0\) датчик показывает \(Q_0=-q/2\).

    Размерный анализ: показание датчика зависит от \(q\) и отношения координат заряда \(a/b\), поэтому \(Q=q\,f(a/b)\). Значит, при движении заряда по прямой, проходящей через \(O\) (фиксированный угол \(\gamma\), \(\operatorname{tg}\gamma=b/a\)), индуцированный заряд постоянен. На горизонтальных участках графика, \(x\in(3x_0,9x_0)\) и \(x\in(-12x_0,-6x_0)\), отклонение \(Q\) от \(Q_0\) одинаково и равно шести клеткам, значит, на траектории есть отрезки с одинаковым по модулю углом \(\gamma\). Минимальная высота \(h_0\) достигается при \(x=3x_0\) и задаёт масштаб траектории. Соединив найденные отрезки, получаем искомый четырёхугольник.

    Ответ: траектория — четырёхугольник, изображённый на рисунке официального решения.

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиОшибка в задаче?

Похожие задачи

наверх