Спираль со стрелкой в магнитном поле

Поток через каждый из двух контуров (со стрелкой и половинами спирали) меняется равномерно; найдите ЭДС за один оборот стрелки. Токи в двух полуспиралях складываются через стрелку. Сила Ампера на стрелку — \(IBa\).

Стрелка движется к правому концу спирали. Есть два замкнутых контура (контур \(KOS\) и контур \(O'MS\)), поток через которые меняется. За время \(T=2\pi/\omega\) конец стрелки обходит полный оборот: число витков левой полуспирали растёт на единицу, правой убывает на столько же. Поток в каждой полуспирали меняется на \(B\pi a^2\), поэтому ЭДС в каждой полуспирали \[|\mathcal E|=\frac{B\pi a^2}{T}=\frac{Ba^2\omega}{2}.\] По правилу Ленца токи \(I_1\) и \(I_2\) в полуспиралях направлены в разные стороны, и через стрелку они текут в одном направлении. Суммарный ток \[I=I_1+I_2=\frac{Ba^2\omega}{2}\left(\frac{1}{R_1(t)}+\frac{1}{R_2(t)}\right).\] Сопротивления полуспиралей: \(R_1(t)=\dfrac{R(\pi N+\omega t)}{2\pi N}\), \(R_2(t)=\dfrac{R(\pi N-\omega t)}{2\pi N}\). Тогда \[\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}=\frac{4\pi^2N^2}{R(\pi^2N^2-\omega^2t^2)}.\] На стрелку со стороны внешнего поля действует сила Ампера \(IBa\), направленная поперёк стрелки. Именно её нужно компенсировать внешней силой, чтобы стрелка двигалась равномерно. Итог: \[F_A=IBa=\frac{2\pi^2N^2B^2a^3\omega}{R\left(\pi^2N^2-\omega^2t^2\right)}.\]