Рамка около провода с током

Согласно закону электромагнитной индукции в каждый момент времени в контуре течет ток \[I = \frac{\Delta\Phi}{R\,\Delta t},\] где \(\Delta\Phi\) — изменение магнитного потока через контур за малый интервал времени \(\Delta t\) вблизи рассматриваемого момента, \(R\) — сопротивление контура. Из этого получаем, что заряд, протекший через контур за малый интервал времени \(\Delta t\), определяется изменением магнитного потока через контур за этот интервал времени: \[\Delta q = I\,\Delta t = \frac{\Delta\Phi}{R}.\] Разбивая время вращения контура вокруг своей дальней стороны на бесконечно малые интервалы времени и складывая заряды, протекшие за эти интервалы, найдем заряд, протекший через контур: \[q = \frac{\Phi_{\text{кон}} - \Phi_{\text{нач}}}{R},\] где \(\Phi_{\text{нач}}\) и \(\Phi_{\text{кон}}\) — начальный и конечный магнитные потоки через контур.

Пусть магнитный поток через контур в начальном положении равен \(\Phi_1\), а в положении, когда он сдвинут так, что ближняя сторона занимает место дальней, равен \(\Phi_2\). Тогда первое условие дает \[q_1 = \frac{\Phi_2 - \Phi_1}{R}.\] Когда контур поворачивают относительно дальней стороны, он занимает такое же место, как и при сдвиге, но по-другому ориентирован. Поэтому поток через него будет таким же по величине и противоположен по знаку, \(-\Phi_2\). И второе условие дает \[q_2 = \frac{-\Phi_2 - \Phi_1}{R}.\] Когда контур уносят на очень большое расстояние, поток через него становится равным нулю, и изменение потока при унесении его из первоначального положения равно \(-\Phi_1\). Поэтому заряд, протекший через него в этом случае, есть \[q_3 = \frac{-\Phi_1}{R}.\] Из формул для \(q_1\) и \(q_2\) заключаем \[q_3 = \frac{q_1 + q_2}{2}.\]