Тело на пружине и транспортёре

При движении ленты на тело начинает действовать сила трения, направленная в сторону движения ленты, которая будет сдвигать тело из положения равновесия. Но эти колебания будут разными в случае, когда \(a > \mu g\) и когда \(a < \mu g\).

Действительно, в первом случае между телом и лентой возникнет проскальзывание, потому что сила трения не сможет сообщить ему такое же ускорение, как у ленты. И в дальнейшем скорость ленты будет расти, и между телом и лентой всегда будет проскальзывание. Поэтому на тело будет действовать постоянная сила трения \(\mu mg\), направленная в сторону движения ленты (независимо от движения тела). Поэтому движение тела полностью эквивалентно колебанию тела на вертикально расположенной пружине в поле силы тяжести. Тело будет совершать колебания около положения растянутой пружины (\(\Delta x = \mu mg/k\)) с амплитудой \[A = \frac{\mu mg}{k}.\]

Если же ускорение ленты \(a < \mu g\), то силы трения между телом и лентой достаточно, чтобы сообщить телу ускорение ленты. Поэтому некоторое время тело будет двигаться вместе с лентой с ее ускорением, растягивая пружину. И при достижении достаточно большой деформации тело начнет двигаться относительно ленты. Это произойдет, когда смещение тела относительно положения равновесия \(\Delta x\) станет таким, что разность сил трения и упругости не смогут сообщить телу ускорение ленты: \[\mu mg - k\,\Delta x = ma \quad\Rightarrow\quad \Delta x = \frac{m(\mu g - a)}{k}.\] В дальнейшем скорость ленты будет продолжать возрастать, поэтому независимо от движения тела между телом и лентой будет действовать постоянная сила трения, направленная по движению ленты. Поэтому тело будет совершать гармонические колебания под действием упругой силы в «поле» постоянной силы \(\mu mg\), т.е. колебания тела на ленте аналогичны колебаниям тела на вертикально расположенной пружине в поле силы тяжести. В частности, положение равновесия тела будет сдвинуто по отношению к положению недеформированной пружины на величину \[\Delta l = \frac{\mu mg}{k}.\] Найдем амплитуду колебаний тела. Для этого найдем его скорость в момент начала скольжения по ленте. Поскольку до этого момента тело движется с постоянным ускорением \(a\), то из законов равноускоренного движения имеем \[\Delta x = \frac{at^2}{2} \quad\Rightarrow\quad t = \sqrt{\frac{2\Delta x}{a}}, \qquad v = at = \sqrt{\frac{2m\,a\,(\mu g - a)}{k}},\] где \(t\) — время, прошедшее от начала движения ленты до начала скольжения тела относительно ленты. Теперь по закону изменения механической энергии получаем для момента, когда скорость тела станет равной нулю, \[E_{\text{кон}} - E_{\text{нач}} = A_{\text{тр}} \quad\Rightarrow\quad \frac{k\,\Delta y^2}{2} - \left(\frac{mv^2}{2} + \frac{k\,\Delta x^2}{2}\right) = \mu mg\left(\Delta y - \Delta x\right),\] где \(E_{\text{кон}}\) и \(E_{\text{нач}}\) — механические энергии системы тело–пружина в тот момент, когда скорость тела относительно земли станет равной нулю, и в момент начала проскальзывания относительно ленты, \(A_{\text{тр}}\) — работа силы трения между началом скольжения тела и его остановкой, \(\Delta y\) — смещение тела по отношению к положению на недеформированной пружине. В результате получаем квадратное уравнение для \(\Delta y\): \[\frac{k\,\Delta y^2}{2} - \mu mg\,\Delta y + \frac{m^2(\mu g - a)^2}{2k} = 0.\] Решая его, получим \[\Delta y = \frac{\mu mg}{k} \pm \frac{m\sqrt{a\,(2\mu g - a)}}{k}.\] Эти два значения определяют два положения тела слева и справа от положения равновесия (\(\mu mg/k\)), в которых скорость тела будет обращаться в нуль. Поэтому амплитуда колебаний тела равна \[A = \frac{m\sqrt{a\,(2\mu g - a)}}{k}.\]