Падающий стержень с грузами

Сравним угловые скорости стержней в тот момент, когда они будут расположены под некоторым углом к поверхности. Итак, рассмотрим первый стержень (с одним телом). Когда он окажется под углом \(\beta\) к вертикали, убыль потенциальной энергии будет равна \[\Delta\Pi = mgl\left(\cos\alpha - \cos\beta\right),\] где \(\alpha\) — начальный угол между стержнем и вертикалью (см. рисунок). Поэтому закон сохранения механической энергии дает \[mgl\left(\cos\alpha - \cos\beta\right) = \frac{mv^2}{2} = \frac{m\omega^2l^2}{2},\] где \(v\) и \(\omega\) — скорость тела и угловая скорость стержня в тот момент, когда он будет наклонен под углом \(\beta\) к поверхности. Отсюда находим \[\omega = \sqrt{\frac{2g\left(\cos\alpha - \cos\beta\right)}{l}}.\]

Рассмотрим теперь второй стержень в тот момент, когда он будет наклонен под углом \(\beta\) к поверхности (см. рисунок). Убыль потенциальной энергии для него будет определяться выражением \[\Delta\Pi = mgl\left(\cos\alpha - \cos\beta\right) + 2mg\,\frac{l}{2}\left(\cos\alpha - \cos\beta\right) = 2mgl\left(\cos\alpha - \cos\beta\right).\] А закон сохранения механической энергии для этого стержня дает \[2mgl\left(\cos\alpha - \cos\beta\right) = \frac{m\omega_1^2l^2}{2} + \frac{2m\omega_1^2\left(l/2\right)^2}{2} = \frac{3m\omega_1^2l^2}{4},\] где \(\omega_1\) — угловая скорость второго стержня в тот момент, когда он будет наклонен под углом \(\beta\) к поверхности. Отсюда находим \[\omega_1 = \sqrt{\frac{8g\left(\cos\alpha - \cos\beta\right)}{3l}}.\]

Отсюда следует, что отношение времен, которые стержень затрачивает на прохождение каждого малого поворота, равно \[\frac{\Delta t}{\Delta t_1} = \frac{\omega_1}{\omega} = \sqrt{\frac{4}{3}}\] и не зависит от угла \(\beta\). Это значит, что и отношение полных времен движения такое же. Или \[t_1 = \sqrt{\frac{3}{4}}\,t.\]