Росатом, 2018/19, заключительный этап, 11 класс

Ответ

\(T_3 = \dfrac{14}{5}\,T\);  \(p_3 = \dfrac{7}{3}\,p\).

Решение

Основная идея решения этой задачи заключается в использовании закона сохранения энергии — вся энергия, которая была заключена в сосуде до удаления перегородки, в нем и останется. Поэтому \[\alpha\nu_1RT_1 + \alpha\nu_2RT_2 = \alpha\left(\nu_1 + \nu_2\right)RT_3,\] где \(\alpha\) — коэффициент, зависящий от атомности газа (\(3/2\), \(5/2\) и др.), \(\nu_1\) и \(\nu_2\) — количество вещества газа в первом и втором отсеках соответственно, \(T_1 = T\) и \(T_2 = 4T\) — температуры газа в отсеках, \(T_3\) — конечная температура газа. Находя количество вещества газа из закона Клапейрона–Менделеева для газа в отсеках, \[\nu_1 = \frac{pV}{RT}, \qquad \nu_2 = \frac{3p\cdot 2V}{R\cdot 4T},\] получим \[T_3 = \frac{14}{5}\,T.\] Установившееся давление найдем по закону Клапейрона–Менделеева: \[p_3 = \frac{(\nu_1 + \nu_2)\,RT_3}{3V} = \frac{7}{3}\,p.\]

Ответ

\(q_3 = \dfrac{q_1 + q_2}{2}\).

Решение

Согласно закону электромагнитной индукции в каждый момент времени в контуре течет ток \[I = \frac{\Delta\Phi}{R\,\Delta t},\] где \(\Delta\Phi\) — изменение магнитного потока через контур за малый интервал времени \(\Delta t\) вблизи рассматриваемого момента, \(R\) — сопротивление контура. Из этого получаем, что заряд, протекший через контур за малый интервал времени \(\Delta t\), определяется изменением магнитного потока через контур за этот интервал времени: \[\Delta q = I\,\Delta t = \frac{\Delta\Phi}{R}.\] Разбивая время вращения контура вокруг своей дальней стороны на бесконечно малые интервалы времени и складывая заряды, протекшие за эти интервалы, найдем заряд, протекший через контур: \[q = \frac{\Phi_{\text{кон}} - \Phi_{\text{нач}}}{R},\] где \(\Phi_{\text{нач}}\) и \(\Phi_{\text{кон}}\) — начальный и конечный магнитные потоки через контур.

Пусть магнитный поток через контур в начальном положении равен \(\Phi_1\), а в положении, когда он сдвинут так, что ближняя сторона занимает место дальней, равен \(\Phi_2\). Тогда первое условие дает \[q_1 = \frac{\Phi_2 - \Phi_1}{R}.\] Когда контур поворачивают относительно дальней стороны, он занимает такое же место, как и при сдвиге, но по-другому ориентирован. Поэтому поток через него будет таким же по величине и противоположен по знаку, \(-\Phi_2\). И второе условие дает \[q_2 = \frac{-\Phi_2 - \Phi_1}{R}.\] Когда контур уносят на очень большое расстояние, поток через него становится равным нулю, и изменение потока при унесении его из первоначального положения равно \(-\Phi_1\). Поэтому заряд, протекший через него в этом случае, есть \[q_3 = \frac{-\Phi_1}{R}.\] Из формул для \(q_1\) и \(q_2\) заключаем \[q_3 = \frac{q_1 + q_2}{2}.\]

Ответ

\(v \approx 5{,}98\) м/с (из \(v^2 = v_0^2 + 10{,}8\) м\(^2\)/с\(^2\)).

Решение

Рассматриваемое движение не является равноускоренным. Мысленно разобьем перемещение тела на малые элементы \(\Delta x_1\), \(\Delta x_2\), …{} настолько малые, что движение на каждом можно считать равноускоренным. Тогда для \(n\)-го элемента \(\Delta x_n\) имеем \[v_{n+1}^2 - v_n^2 = 2a_n\Delta x_n,\] где \(v_{n+1}\) и \(v_n\) — скорость тела в конце и в начале элемента, \(a_n\) — проекция ускорения тела на ось \(x\) внутри этого элемента. Складывая такие равенства для каждого элемента, найдем \[v_{\text{кон}}^2 - v_{\text{нач}}^2 = 2\left(a_1\Delta x_1 + a_2\Delta x_2 + a_3\Delta x_3 + \dots\right),\] где \(v_{\text{кон}}\) и \(v_{\text{нач}}\) — скорость тела в конце и в начале нашего движения. Сумма в скобках имеет смысл площади под графиком зависимости проекции ускорения от координаты. Вычисляя эту площадь (по графику, используя пропорциональные соотношения), получим \[v_{\text{кон}}^2 = v_{\text{нач}}^2 + 10{,}8 \text{ м}^2/\text{с}^2.\] Отсюда \[v_{\text{кон}} = \sqrt{35{,}8} = 5{,}98 \text{ м/с}.\]

Ответ

При \(a > \mu g\): \(A = \dfrac{\mu m g}{k}\); при \(a < \mu g\): \(A = \dfrac{m\sqrt{a\,(2\mu g - a)}}{k}\).

Решение

При движении ленты на тело начинает действовать сила трения, направленная в сторону движения ленты, которая будет сдвигать тело из положения равновесия. Но эти колебания будут разными в случае, когда \(a > \mu g\) и когда \(a < \mu g\).

Действительно, в первом случае между телом и лентой возникнет проскальзывание, потому что сила трения не сможет сообщить ему такое же ускорение, как у ленты. И в дальнейшем скорость ленты будет расти, и между телом и лентой всегда будет проскальзывание. Поэтому на тело будет действовать постоянная сила трения \(\mu mg\), направленная в сторону движения ленты (независимо от движения тела). Поэтому движение тела полностью эквивалентно колебанию тела на вертикально расположенной пружине в поле силы тяжести. Тело будет совершать колебания около положения растянутой пружины (\(\Delta x = \mu mg/k\)) с амплитудой \[A = \frac{\mu mg}{k}.\]

Если же ускорение ленты \(a < \mu g\), то силы трения между телом и лентой достаточно, чтобы сообщить телу ускорение ленты. Поэтому некоторое время тело будет двигаться вместе с лентой с ее ускорением, растягивая пружину. И при достижении достаточно большой деформации тело начнет двигаться относительно ленты. Это произойдет, когда смещение тела относительно положения равновесия \(\Delta x\) станет таким, что разность сил трения и упругости не смогут сообщить телу ускорение ленты: \[\mu mg - k\,\Delta x = ma \quad\Rightarrow\quad \Delta x = \frac{m(\mu g - a)}{k}.\] В дальнейшем скорость ленты будет продолжать возрастать, поэтому независимо от движения тела между телом и лентой будет действовать постоянная сила трения, направленная по движению ленты. Поэтому тело будет совершать гармонические колебания под действием упругой силы в «поле» постоянной силы \(\mu mg\), т.е. колебания тела на ленте аналогичны колебаниям тела на вертикально расположенной пружине в поле силы тяжести. В частности, положение равновесия тела будет сдвинуто по отношению к положению недеформированной пружины на величину \[\Delta l = \frac{\mu mg}{k}.\] Найдем амплитуду колебаний тела. Для этого найдем его скорость в момент начала скольжения по ленте. Поскольку до этого момента тело движется с постоянным ускорением \(a\), то из законов равноускоренного движения имеем \[\Delta x = \frac{at^2}{2} \quad\Rightarrow\quad t = \sqrt{\frac{2\Delta x}{a}}, \qquad v = at = \sqrt{\frac{2m\,a\,(\mu g - a)}{k}},\] где \(t\) — время, прошедшее от начала движения ленты до начала скольжения тела относительно ленты. Теперь по закону изменения механической энергии получаем для момента, когда скорость тела станет равной нулю, \[E_{\text{кон}} - E_{\text{нач}} = A_{\text{тр}} \quad\Rightarrow\quad \frac{k\,\Delta y^2}{2} - \left(\frac{mv^2}{2} + \frac{k\,\Delta x^2}{2}\right) = \mu mg\left(\Delta y - \Delta x\right),\] где \(E_{\text{кон}}\) и \(E_{\text{нач}}\) — механические энергии системы тело–пружина в тот момент, когда скорость тела относительно земли станет равной нулю, и в момент начала проскальзывания относительно ленты, \(A_{\text{тр}}\) — работа силы трения между началом скольжения тела и его остановкой, \(\Delta y\) — смещение тела по отношению к положению на недеформированной пружине. В результате получаем квадратное уравнение для \(\Delta y\): \[\frac{k\,\Delta y^2}{2} - \mu mg\,\Delta y + \frac{m^2(\mu g - a)^2}{2k} = 0.\] Решая его, получим \[\Delta y = \frac{\mu mg}{k} \pm \frac{m\sqrt{a\,(2\mu g - a)}}{k}.\] Эти два значения определяют два положения тела слева и справа от положения равновесия (\(\mu mg/k\)), в которых скорость тела будет обращаться в нуль. Поэтому амплитуда колебаний тела равна \[A = \frac{m\sqrt{a\,(2\mu g - a)}}{k}.\]

Ответ

\(t_1 = \sqrt{\dfrac{3}{4}}\,t = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\,t\).

Решение

Сравним угловые скорости стержней в тот момент, когда они будут расположены под некоторым углом к поверхности. Итак, рассмотрим первый стержень (с одним телом). Когда он окажется под углом \(\beta\) к вертикали, убыль потенциальной энергии будет равна \[\Delta\Pi = mgl\left(\cos\alpha - \cos\beta\right),\] где \(\alpha\) — начальный угол между стержнем и вертикалью (см. рисунок). Поэтому закон сохранения механической энергии дает \[mgl\left(\cos\alpha - \cos\beta\right) = \frac{mv^2}{2} = \frac{m\omega^2l^2}{2},\] где \(v\) и \(\omega\) — скорость тела и угловая скорость стержня в тот момент, когда он будет наклонен под углом \(\beta\) к поверхности. Отсюда находим \[\omega = \sqrt{\frac{2g\left(\cos\alpha - \cos\beta\right)}{l}}.\]

Рассмотрим теперь второй стержень в тот момент, когда он будет наклонен под углом \(\beta\) к поверхности (см. рисунок). Убыль потенциальной энергии для него будет определяться выражением \[\Delta\Pi = mgl\left(\cos\alpha - \cos\beta\right) + 2mg\,\frac{l}{2}\left(\cos\alpha - \cos\beta\right) = 2mgl\left(\cos\alpha - \cos\beta\right).\] А закон сохранения механической энергии для этого стержня дает \[2mgl\left(\cos\alpha - \cos\beta\right) = \frac{m\omega_1^2l^2}{2} + \frac{2m\omega_1^2\left(l/2\right)^2}{2} = \frac{3m\omega_1^2l^2}{4},\] где \(\omega_1\) — угловая скорость второго стержня в тот момент, когда он будет наклонен под углом \(\beta\) к поверхности. Отсюда находим \[\omega_1 = \sqrt{\frac{8g\left(\cos\alpha - \cos\beta\right)}{3l}}.\]

Отсюда следует, что отношение времен, которые стержень затрачивает на прохождение каждого малого поворота, равно \[\frac{\Delta t}{\Delta t_1} = \frac{\omega_1}{\omega} = \sqrt{\frac{4}{3}}\] и не зависит от угла \(\beta\). Это значит, что и отношение полных времен движения такое же. Или \[t_1 = \sqrt{\frac{3}{4}}\,t.\]