Заземление сферы
5/10В точке \(A\), расположенной на расстоянии \(r\) от центра \(O\) незаряженной проводящей сферы радиусом \(R\), находится точечный заряд \(q\). Сферу заземляют длинным тонким проводником. На сколько изменится (после заземления) потенциал \(\varphi_B\) точки \(B\), являющейся вершиной равностороннего треугольника \(ABO\)?
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаПри заземлении на сфере появляется дополнительный заряд \(Q\); найдите его по потенциалу центра сферы (он должен остаться нулевым) и подумайте, как этот заряд распределён и какое поле создаёт снаружи.
▶ОтветСкрыть: ответ
ОтветПосле заземления потенциал точки \(B\) изменится на \(\Delta\varphi_B = -\dfrac{Rq}{4\pi\varepsilon_0 r^2}\).
Заряд у проводящего шара
6/10Вблизи незаряженного проводящего шара радиусом \(R\) расположен точечный заряд \(q\) на расстоянии \(2R\) от центра шара, как показано на рисунке. На какую величину \(\Delta\varphi_A\) изменится потенциал точки (пространства) \(A\), если шар удалить на бесконечность?
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаТочка \(A\) лежит на поверхности проводника, поэтому её потенциал равен потенциалу центра шара. Какой вклад в потенциал центра дают индуцированные заряды, сидящие на сфере?
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ\(\Delta\varphi_A = k\dfrac{q}{R}\left(\dfrac{1}{\sqrt5} - \dfrac{1}{2}\right)\).
▶РешениеСкрыть: решение
РешениеПотенциал точки \(A\) равен потенциалу центра шара, так как он проводящий. По принципу суперпозиции: \[\varphi_{A1} = \varphi_q + \varphi_{\text{инд}},\] где \(\varphi_q\) "— потенциал в центре шара, созданный точечным зарядом \(q\), \(\varphi_{\text{инд}}\) "— потенциал в центре шара, созданный зарядом, который индуцируется на поверхности шара. Разобьём поверхность шара на много маленьких кусочков и посчитаем \(\varphi_{\text{инд}}\) с помощью принципа суперпозиции: \[\varphi_{\text{инд}} = \sum_i k\frac{q_i}{R} = \frac{k}{R}\sum_i q_i = 0 .\] Следовательно, \[\varphi_{A1} = \varphi_q = k\frac{q}{2R}.\] Потенциал точки \(A\) после удаления шара равен \[\varphi_{A2} = k\frac{q}{\sqrt5 R}.\] Окончательно получаем: \[\Delta\varphi_A = \varphi_{A2} - \varphi_{A1} = k\frac{q}{R}\left(\frac{1}{\sqrt5} - \frac{1}{2}\right).\]
Заряженная полусфера у стенки
7/10Однородную полусферу радиусом \(R\) и массой \(m\), равномерно заряженную по поверхности зарядом \(q\), приложили основанием к вертикальной протяжённой металлической плоской стене (см. рисунок). Заряды по сфере не перераспределяются.
С какой силой полусфера притягивается к стене?
При каком коэффициенте трения \(\mu\) между стеной и полусферой она будет покоиться, «прилипнув» к стене?
При каких значениях массы полусферы при заданном коэффициенте трения \(\mu < 1\) полусфера будет скользить вниз вдоль стены, не отрываясь от неё?
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаМеталлическая стена действует на заряды так же, как «зеркальное» изображение полусферы с зарядом противоположного знака. Сила притяжения равна силе отталкивания половин целой равномерно заряженной сферы.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(F = \dfrac{q^2}{8\pi\varepsilon_0 R^2}\); 2) полусфера будет покоиться при \(\mu > \dfrac{8\pi\varepsilon_0 m g R^2}{q^2}\); 3) полусфера будет скользить вниз вдоль стены, не отрываясь от неё, при \(m \ge \dfrac{\mu q^2}{8\pi\varepsilon_0 g R^2}\).
Метод электростатических изображений
8/10Проводящий шар радиусом \(R\) имеет сферическую полость радиусом \(r\), касающуюся наружной поверхности шара (рис. 3.32). Заряд шара равен \(Q\). В полости, на расстоянии \(r_{1}\) от её центра, находится точечный заряд \(q_{1}\). Вне шара, на расстоянии \(r_{2}\) от его центра, находится точечный заряд \(q_{2}\).
а) Найдите потенциал \(\varphi_{ш}\) шара.
б) Найдите потенциал \(\varphi_{О}\) в центре \(O\) полости.
Рисунок 3.32. К условию задачи №70. ▶РешениеСкрыть: решение
Решение
Метод электростатических изображений
8/10Точечный заряд \(q\) находится на расстоянии \(h\) от бесконечной металлической плоскости. Какая сила действует на заряд со стороны плоскости?
▶РешениеСкрыть: решение
Решение
Метод электростатических изображений
8/10По одну сторону от незаряженной металлической плоскости на расстоянии \(h\) от неё находятся два одинаковых точечных заряда \(q\). Найдите модуль силы, действующей на каждый из зарядов, если расстояние между ними 2\(h\).
▶РешениеСкрыть: решение
Решение
Метод электростатических изображений
8/10Два одинаковых точечных заряда \(q\) закреплены на концах непроводящего стержня длиной \(R\). Стержень расположен перпендикулярно проводящей незаряженной плоскости большого размера (рис. 3.33). Расстояние от плоскости до ближайшего к ней конца стержня также равно \(R\). Найдите модуль силы \(F\), действующей на стержень с зарядами со стороны плоскости.
Рисунок 3.33. К условию задачи №74. ▶РешениеСкрыть: решение
Решение
Метод электростатических изображений
8/10Две бесконечные проводящие плоскости, пересекаясь под прямым углом, делят пространство на четыре области. В области I находится точечный заряд \(q\) на одинаковом расстоянии \(l\) от обеих плоскостей (рис. 3.34). Есть ли электрическое поле в областях II – IV? Чему равен модуль силы, которая действует на заряд \(q\)?
Рисунок 3.34. К условию задачи №75. ▶РешениеСкрыть: решение
Решение
Метод электростатических изображений
8/10В точке \(A\), расположенной на расстоянии \(r\) от центра \(O\) незаряженной проводящей сферы радиусом \(R\), находится точечный заряд \(q\) (рис. 3.35). Сферу заземляют длинным тонким проводником. На сколько изменится (после заземления) потенциал \(\varphi_{B}\) точки \(B\), являющейся вершиной равностороннего треугольника \(ABO\)?
Рисунок 3.35. К условию задачи №76. ▶РешениеСкрыть: решение
Решение
Заряд над проводящей плоскостью
4/10Метод изображений: поверхностная плотность индуцированного заряда пропорциональна нормальной компоненте поля и убывает как куб расстояния до заряда; найти точку с заданным отношением плотностей.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Заряд у проводящей плоскости
6/10Заряд быстро переносят вдоль проводящей плоскости, так что поверхностные заряды не успевают смещаться; тепло равно разности энергий взаимодействия по методу изображений.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Заряды сфер
6/10Две проводящие концентрические сферы радиусами \(R\) и \(3R\) заземлены. В пространстве между сферами на расстоянии \(2R\) от их общего центра находится маленький шарик с зарядом \(q\) (\(q > 0\)).
Найдите отношение \(k_a = \dfrac{|q_R^{(a)}|}{q}\) модуля заряда внутренней сферы к заряду шарика.
Внешнюю сферу подключили к положительному выводу батарейки с ЭДС \(\mathcal{E} = \dfrac{q}{12\pi\epsilon_0 R}\). Отрицательный вывод батарейки заземлили. Определите отношение \(k_b = \dfrac{|q_{3R}^{(b)}|}{q}\) модуля заряда внешней сферы к заряду шарика в этом случае. Внутренняя сфера, как и в первом случае, остаётся заземлённой.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаЗаряд на заземлённой сфере определяется условием нулевого потенциала сферы (например, в её центре). Для пункта b) примените принцип суперпозиции: решение a) плюс решение для заряженной внешней сферы при заземлённых внутренней сфере и шарике.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(k_a = 0{,}25\); 2) \(k_b = 0{,}75\).