Сдвинуть ящик

Сила, приложенная к ящику под углом вверх, облегчает ящик, но на человека действует обратно направленная сила, которая прижимает его к полу. Нужно, чтобы ящик начал скользить, а человек — нет. Найдите область допустимых направлений и величин силы и выберите в ней силу наименьшей длины.

Вертикальная составляющая силы на ящик должна быть направлена вверх. Наименьшая сила: если \(m\le M\,\dfrac{1-\mu^2}{1+\mu^2}\), то \(F_{\min}=\dfrac g2\sqrt{(M-m)^2+\mu^2(M+m)^2}\) (при \(\mathrm{tg}\,\alpha=\dfrac{M-m}{\mu(M+m)}\)); в противном случае (в том числе всегда при \(\mu\ge1\)) \(F_{\min}=\dfrac{\mu Mg}{\sqrt{1+\mu^2}}\) (при \(\mathrm{tg}\,\alpha=\mu\)).

Что происходит. Человек действует на ящик силой \(\vec F\), а ящик на человека — такой же силой \(-\vec F\). Чтобы ящик сдвинулся, горизонтальная составляющая силы \(F\cos\alpha\) должна превзойти максимальную силу трения покоя ящика, чтобы человек устоял — не превосходить максимальной силы трения покоя человека. Вертикальная составляющая \(F\sin\alpha\) на ящик, направленная вверх, облегчает ящик и утяжеляет человека (сила \(-\vec F\) вниз). Так как \(M>m\), без неё не обойтись.

Обозначения. \(\alpha\) — угол силы \(\vec F\) (на ящик) с горизонтом, \(a=F\sin\alpha\), \(b=F\cos\alpha\); \(N_1\), \(N_2\) — силы реакции пола на ящик и на человека. Скольжения нет, пока сила трения покоя не превышает \(\mu N\); сдвигается — когда сила превышает \(\mu N\). Движение с места: рассматриваем начало движения, когда ящик ещё покоится.

1. Ящик. Второй закон Ньютона для покоящегося ящика в проекции на вертикаль: \(N_1=Mg-a\). Ящик сдвинется, если \(b\ge\mu N_1\), то есть \(b\ge\mu\,(Mg-a)\).

2. Человек. Вертикаль: \(N_2=mg+a\) (сила \(-\vec F\) направлена вниз). Горизонталь: сила трения покоя уравновешивает \(b\) и не превышает \(\mu N_2\), то есть \(b\le\mu\,(mg+a)\).

3. Область допустимых сил. На плоскости \((b,a)\) точка, изображающая вектор \(\vec F\), лежит правее прямой \(b=\mu(Mg-a)\) и левее прямой \(b=\mu(mg+a)\). Эти прямые пересекаются в точке \(a_0=\dfrac{(M-m)g}{2}\), \(b_0=\dfrac{\mu(M+m)g}{2}\), а допустимая область — угол выше этой вершины (\(a\ge a_0\)). Условие \(a\ge a_0\) следует из сравнения двух неравенств: должно быть \(\mu(Mg-a)\le\mu(mg+a)\).

4. Наименьшая сила. Длина вектора \(F=\sqrt{a^2+b^2}\) наименьшая в точке области, ближайшей к началу координат. Здесь два случая. Если основание перпендикуляра из начала на левую границу (прямая ящика) лежит в области (т. е. её абсцисса \(a^*=\dfrac{\mu^2Mg}{1+\mu^2}\ge a_0\)), то ближайшая точка — это основание перпендикуляра: \(F_{\min}=\dfrac{\mu Mg}{\sqrt{1+\mu^2}}\), \(\mathrm{tg}\,\alpha=\mu\) (как для ящика одного). Если \(a^*<a_0\), перпендикуляр попадает ниже вершины, а значит вне области, и ближайшая точка — вершина угла: \(F_{\min}=\sqrt{a_0^2+b_0^2}=\dfrac g2\sqrt{(M-m)^2+\mu^2(M+m)^2}\).

5. Условие для случаев. Неравенство \(a^*\ge a_0\) равносильно \(2\mu^2M\ge(1+\mu^2)(M-m)\), то есть \(m\ge M\,\dfrac{1-\mu^2}{1+\mu^2}\). Значит, для лёгкого человека, \(m\le M\,\dfrac{1-\mu^2}{1+\mu^2}\), ответ — вершина; для тяжёлого — \(\mu Mg/\sqrt{1+\mu^2}\); при \(\mu\ge1\) правая часть неположительна, и всегда справедлив второй случай.

6. Можно ли толкать. Если сила на ящик направлена вниз (\(a<0\)), то условия принимают вид \(b\ge\mu(Mg+|a|)\) и \(b\le\mu(mg-|a|)\) — несовместны при \(M>m\). То есть ни толкая, ни тяня вниз сдвинуть ящик нельзя: нужна составляющая вверх. Направление горизонтальной составляющей (к человеку или от него) роли не играет.

Обратите внимание: ответ <<\(F\ge\frac g2\sqrt{(M-m)^2+\mu^2(M+m)^2}\)>> верен не всегда. Например, при \(M=100\) кг, \(\mu=0{,}5\) он даёт для \(m=80\) кг значение \(46{,}1\,g\), а на самом деле достаточно \(44{,}7\,g\) (человек стоит достаточно твёрдо, и можно тянуть ящик под углом \(\mathrm{arctg}\,\mu\)).

Ответ. В буквах: \(F_{\min}=\dfrac g2\sqrt{(M-m)^2+\mu^2(M+m)^2}\) при \(m\le M\dfrac{1-\mu^2}{1+\mu^2}\) и \(F_{\min}=\dfrac{\mu Mg}{\sqrt{1+\mu^2}}\) при остальных \(m\) (всегда при \(\mu\ge1\)); сила направлена вверх под углом \(\alpha\) к горизонту, \(\mathrm{tg}\,\alpha=\dfrac{M-m}{\mu(M+m)}\) в первом и \(\mathrm{tg}\,\alpha=\mu\) во втором случае. В числах для \(M=100\) кг, \(\mu=0{,}5\): при \(m=40\) кг \(F_{\min}\approx46{,}1\,g\approx452\) Н, при \(m=80\) кг \(F_{\min}\approx44{,}7\,g\approx439\) Н.

Проверка. Размерность: \(Mg\) — сила. Предел \(\mu\to0\): \(F_{\min}\to\dfrac{(M-m)g}{2}\), \(\alpha\to90^\circ\) — нужно тянуть почти вертикально вверх, чтобы реакции пола под ящиком и под человеком сравнялись (\(Mg-a=mg+a\)): без трения горизонтальной силы почти не нужно. Граница случаев \(m=M\dfrac{1-\mu^2}{1+\mu^2}\): оба выражения совпадают, и \(\mathrm{tg}\,\alpha=\mu\) в обоих. Второй способ: численный перебор углов (для \(M=100\), \(m=40\), \(\mu=0{,}5\) и \(m=80\)) даёт те же \(46{,}1\,g\) и \(44{,}7\,g\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.