Странная плосковыпуклая линза

Рассматриваемая в условии необычная линза состоит из призмы и обычной плосковыпуклой линзы, разделённых плоской поверхностью. Введём систему координат следующим образом: ось \(Y\) расположим в плоскости, разделяющей призму и линзу, и направим её перпендикулярно ребру призмы; ось \(X\) направим от призмы перпендикулярно границе её раздела с линзой вдоль радиуса сферической поверхности. Далее задачу можно решать двумя способами.

1) Заметим, что лучи, падающие на поверхность призмы под некоторым углом \(\alpha\) (так, как показано на рисунке в условии), внутри необычной линзы будут проходить параллельно плоскости \(XY\) под углом \(\beta = \alpha(1 - (1/n))\) к оси \(X\).

Рассмотрим далее параллельный пучок лучей, падающий на сферическую поверхность, разделяющую среды с показателями преломления \(n\) и 1 (см. рис. 4.22.1). Пусть точка \(O\) — центр преломляющей сферической поверхности, \(OA\) — луч, падающий нормально к этой поверхности, луч \(O'A'\) проходит параллельно \(OA\) на достаточно близком от \(OA\) расстоянии и преломляется на сферической поверхности в точке \(A'\). Преломлённый луч \(A'F\) пересекает луч \(OA\) в точке \(F\), которая, очевидно, является фокусом данной сферической поверхности. Из закона преломления следуют следующие соотношения: \[\angle O'A'O = \angle B'A'B = \gamma,\quad \angle B'A'F = n\gamma,\quad \angle BA'F = \angle A'FA = (n - 1)\gamma.\] Расстояние между лучами \(O'A'\) и \(OA\) равно \(R\gamma\), с одной стороны, и \(AF\cdot(n - 1)\gamma\), с другой. Поэтому \[AF = \dfrac{R}{n - 1};\qquad OF = R + AF = \dfrac{Rn}{n - 1}.\] Если теперь рассмотреть параллельный пучок лучей, идущий под углом \(\beta\) к оси \(X\), то картинка на рисунке 4.22.1 целиком повернётся на угол \(\beta\), и пучок соберётся в фокусе с координатами \(\left(\dfrac{R}{n - 1};\ \dfrac{Rn\beta}{n - 1}\right)\). Поскольку \(\beta = \alpha\dfrac{n - 1}{n}\), окончательно находим координаты фокуса необычной линзы: \(\left(\dfrac{R}{n - 1};\ R\alpha\right)\).

2) Прохождение параллельного пучка лучей через рассматриваемую систему осуществляется в две стадии: прохождение через призму, а затем — через обычную линзу. Будем считать, что между призмой и этой линзой имеется тонкая воздушная прослойка (она, очевидно, не может никак влиять на работу оптической системы).

При прохождении через призму пучок лучей после выхода из неё в воздух поворачивается на угол \(n\beta = \alpha(n - 1)\). Если теперь этот пучок попадёт из воздуха в линзу, то после прохождения через неё лучи соберутся в фокальной плоскости линзы в точке с координатами \((F;\ \alpha(n - 1)F)\) — см. рисунок 4.22.2. Отсюда, учитывая, что \(F = \dfrac{R}{n - 1}\), получаем координаты фокуса системы, найденные выше.