Пузырьки в вытекающей воде

Пусть вода внутри трубы движется со скоростью \(v\), а давление в ней равно \(p\). Тогда уравнение Бернулли для текущей по трубе воды имеет вид: \(p + \dfrac{\rho v^2}{2} = p_0 + \dfrac{\rho v_0^2}{2}\).

Поскольку воду можно считать несжимаемой жидкостью, и пузырьков в ней немного, то справедливо уравнение неразрывности струи: \(Sv = S_0v_0\).

Давление внутри пузырька равно давлению внутри воды. Будем считать, что при вытекании струи из отверстия находящиеся в ней пузырьки расширяются изотермически, изменяя свой объём от \(V\) до \(V_0\). Тогда в соответствии с уравнением Менделеева — Клапейрона: \(pV = p_0V_0\). Из этих уравнений получаем: \(\dfrac{V_0}{V} = 1 + \dfrac{\rho v_0^2}{2p_0}\left(1 - \dfrac{S_0^2}{S^2}\right)\). Так как объём пузырька пропорционален кубу его радиуса, то отношение радиусов пузырьков воздуха у выходного отверстия и внутри трубы \[\dfrac{r_0}{r} = \sqrt[3]{\dfrac{V_0}{V}} = \sqrt[3]{1 + \dfrac{\rho v_0^2}{2p_0}\left(1 - \dfrac{S_0^2}{S^2}\right)}.\]