Толстая линза

Найдите предельный угол полного внутреннего отражения на сферической поверхности линзы. Лучи, падающие под большими углами, не выходят из линзы; граница яркого кольца задаётся предельным лучом.

Плоскую границу линзы все лучи проходят без преломления. Из сферической поверхности выходят не все лучи: часть из них испытывает полное отражение. Предельный угол падения, при котором лучи перестают выходить за сферическую поверхность: \[n\sin\alpha_{\text{пр}} = 1{,}0, \qquad \alpha_{\text{пр}} = 30^\circ.\] Ход некоторых лучей показан на рисунке. Внешняя граница яркого кольца в первом случае определяется лучом, падающим на сферическую поверхность под предельным углом \(30^\circ\). Диаметр же тёмного центрального пятна равен диаметру линзы.

Определим с помощью масштабной линейки внешний диаметр кольца \(D = 2{,}90\) см и диаметр внутреннего тёмного круга \(d = 2{,}10\) см. Для предельного луча угол \(30^\circ\), \(CD = d/2 = R = 1{,}05\) см, \(CE = D/2 = 1{,}45\) см (рис. 5).

Пусть \(L\) — искомое расстояние, тогда \(AB = L - R\cos\alpha_{\text{пр}}\), \(BE = \dfrac{D}{2} + R\sin\alpha_{\text{пр}}\), \(\dfrac{AB}{BE} = \mathrm{tg}\alpha_{\text{пр}}\). В результате преобразований \[L_1 = \frac{\dfrac{D}{2}\sin\alpha_{\text{пр}} + R}{\cos\alpha_{\text{пр}}} \approx 2{,}05~\text{см}.\]

Во втором случае точки \(D\) и \(E\) должны совпасть, либо точка \(E\) должна располагаться ближе к точке \(C\). Тогда \(D \le d = 2{,}10\) см. Поскольку придвинуть линзу к экрану ближе, чем на расстояние \(R = d/2\), невозможно, то \[R \le L_2 \le R\,\frac{\sin\alpha_{\text{пр}} + 1}{\cos\alpha_{\text{пр}}} \quad\text{или}\quad 1{,}05~\text{см} \le L_2 \le 1{,}82~\text{см}.\]