Долго ли умеючи?

Центр масс системы неподвижен. Найдите ускорение бусинки относительно стержня при малом смещении; оно пропорционально смещению, то есть движение — гармоническое. Искомое время составляет четверть периода.

В процессе колебаний центр масс системы тел остаётся неподвижным. Начало лабораторной системы отсчёта поместим в центр масс. Подвижную систему отсчёта свяжем со спицей. В лабораторной системе ускорение бусинки при малом её смещении \(x_1\) относительно спицы определяется силой притяжения концевого отрезка спицы длиной \(2x_1\), расположенного на расстоянии \(\approx L/2\) от бусинки: \[a_{m,C} = -\frac{Gm\,(M/L)\,2x_1}{m\,(L/2)^2} = -\frac{8GM}{L^3}\,x_1.\] Ускорение стержня при этом смещении бусинки \[a_{M,C} = \frac{Gm\,(M/L)\,2x_1}{M\,(L/2)^2} = \frac{8Gm}{L^3}\,x_1.\] Тогда ускорение бусинки относительно стержня \[a_m = a_{m,C} - a_{M,C} = -\frac{8G(M + m)}{L^3}\,x_1.\] Это уравнение гармонических колебаний бусинки относительно спицы с периодом \[T = \frac{2\pi}{\omega} = \pi L\sqrt{\frac{L}{2G(M + m)}}.\] Искомое время равно четверти периода колебаний: \[\tau = \frac{T}{4} \approx 2{,}0\cdot 10^6~\text{с} \approx 24~\text{суток}.\]