Космический корабль

Качественный вид траектории космического корабля в системе отсчёта, в которой астероид изначально покоился, показан на левом рисунке, где \(v_0\) и \(v\) — скорости корабля до и после взаимодействия с астероидом, \(u\) — скорость астероида, возникшая из-за притяжения к кораблю. Система, состоящая из корабля и астероида, является изолированной, поэтому для неё можно записать законы сохранения импульса и энергии (потенциальная энергия гравитационного взаимодействия в итоге осталась прежней): \[m\vec v_0 = m\vec v + M\vec u \tag{4}\] \[\frac{mv_0^2}{2} = \frac{mv^2}{2} + \frac{Mu^2}{2}. \tag{5}\]

Применив теорему косинусов к треугольнику (правый рисунок), составленному из векторов импульсов согласно уравнению (4), получим \[(Mu)^2 = (mv_0)^2 + (mv)^2 - 2(mv_0)(mv)\cos\varphi. \tag{6}\] Введём обозначение \(x = M/m\) и исключим \(u\), решая уравнения (5) и (6) совместно: \[x(v_0^2 - v^2) = v_0^2 + v^2 - 2v_0v\cos\varphi,\] откуда после подстановки \(v = v_0(1-k)\) находим искомое отношение: \[x = \frac{M}{m} = \frac{1 + (1-k)^2 - 2(1-k)\cos\varphi}{1 - (1-k)^2} = 3{,}0625 \approx 3.\]