Зеркала

Из геометрических соображений следует, что предмет \(S\) находится перед передним фокусом \(F\) линзы, а задний её фокус совпадает с точкой касания зеркал \(C\) (рисунок 1).

Интересующие нас световые лучи сначала проходят через линзу, затем отражаются от пары зеркал, после чего снова проходят через линзу в обратном направлении. Для нахождения изображения \(S'\) вычислим положения промежуточных изображений, даваемых по отдельности линзой и зеркалами по мере прохождения лучей через систему.

Для иллюстрации рассуждений на рисунке 2 показаны продолжения лучей, создающих промежуточные изображения \(S_1\), \(S_2\) и \(S_3\), а на рисунке 3 — вспомогательные построения для поиска изображений. Точки \(O\), \(A\) и \(B\) — это соответственно оптический центр линзы и её точки касания с каждым из зеркал.

1. Пусть \(a\) и \(b\) — расстояния от линзы до предмета и до изображения соответственно, тогда по формуле тонкой линзы \[\frac1a + \frac1b = \frac1f,\] откуда \[b = \frac{af}{a - f}, \tag{238}\] причём значение любого из расстояний (\(f\), \(a\), \(b\)) в этой формуле может быть отрицательным: \(f < 0\) означает рассеивающую линзу, \(a < 0\) — мнимый предмет, \(b < 0\) — мнимое изображение. Точка \(S_1\) — изображение источника \(S\) в линзе без учёта зеркал, поэтому из формулы (238) при \(a = SO = 1{,}5f\) получаем \[OS_1 = b = 3f.\]

2. Зеркало даёт изображение, симметричное предмету относительно плоскости зеркала, причём это свойство применимо как к действительным, так и к мнимым предметам. Точка \(S_2\) — изображение предмета \(S_1\) в зеркале \(AC\) без учёта второго зеркала, значит, построив к плоскости зеркала \(AC\) перпендикуляр \(S_1D\) и продолжив его на такое же расстояние, находим \(S_2\).

3. Рассуждая аналогично, строим точку \(S_3\) — изображение предмета \(S_2\) в зеркале \(BC\) без учёта линзы. Последовательное применение двух отражений относительно взаимно перпендикулярных прямых эквивалентно одному отражению относительно их точки пересечения (вспомните свойство центральной симметрии графика нечётной функции), поэтому \(S_3C = CS_1\), откуда \[S_3O = S_3C - OC = CS_1 - OC = OS_1 - 2OC = 3f - 2f = f,\] то есть изображение \(S_3\) совпадает с передним фокусом \(F\) линзы.

4. Искомая точка \(S'\) является действительным изображением мнимого предмета \(S_3\), поэтому из формулы (238) при \(a = -S_3O = -f\) получаем \[S'O = b = f/2.\] В самом начале решения был выбран луч, который сперва отражается от зеркала \(AC\), а потом — от \(BC\), однако существуют лучи, которые испытывают отражения в обратном порядке. В данном случае из симметрии ясно, что они пересекутся в той же точке, однако при другом расположении зеркал могли бы возникнуть два конечных изображения. Таким образом, окончательный ответ: изображение будет на расстоянии \(f/2\) перед линзой.