Планета

Пусть \(m\) — масса маятника, \(v\) и \(N\) — соответственно скорость груза и сила натяжения нити, когда она образует некоторый угол \(\varphi\) с вертикалью, тогда из второго закона Ньютона в проекции на направление нити (левый рисунок) \[m\cdot\frac{v^2}{L} = N - mg\cos\varphi\] выражаем \[N = mg\cos\varphi + \frac{mv^2}{L}.\] При возрастании \(|\varphi|\) значения \(\cos\varphi\) и \(v^2\) уменьшаются, поэтому сила натяжения нити будет максимальной в положении равновесия (\(\varphi = 0\)), а минимальной — в крайних точках (\(\varphi = \alpha\)), то есть \[N_{\max} = mg + \frac{mv^2}{L}, \qquad N_{\min} = mg\cos\alpha.\] С учётом условия \(N_{\max} = kN_{\min}\) отсюда следует, что \(gL + v^2 = kgL\cos\alpha\). Решая это уравнение совместно с законом сохранения энергии \[\frac{mv^2}{2} = mgL(1 - \cos\alpha),\] находим \[\cos\alpha = \frac{3}{k+2} = \frac12.\] Отметим, что найденный угол \(\alpha = 60{}^\circ\) не является малым, однако в решении не используется приближение малых колебаний.

При вращении маятника его груз движется в горизонтальной плоскости по окружности радиусом \(R = L\sin\alpha\) с циклической частотой \(\omega = 2\pi/T\) (правый рисунок). Запишем второй закон Ньютона в проекции на вертикаль и на радиус: \[0 = N\cos\alpha - mg, \qquad m\cdot\omega^2R = N\sin\alpha,\] откуда после подстановки \(\cos\alpha\), \(R\) и \(\omega\) получаем \[g = \frac{12\pi^2L}{(k+2)T^2} = 3{,}7\text{ м/с}^2.\]