Сосуд

Ускорение \(a\) сосуда возникает за счёт разницы между реактивной силой тяги \(F_{\text{тяги}}\) струи воды, выливающейся из отверстия (см. рисунок), и силой трения скольжения \(F_{\text{тр}}\) сосуда о поверхность стола. Приведём два способа нахождения \(F_{\text{тяги}}\): статический и динамический. В обоих случаях сосуд считается неподвижным.

1. В статической модели предполагается, что гидростатическое давление воды на уровне отверстия определяется формулой \(P = \rho gH\), то есть не изменяется после начала движения воды. Тогда сосуд с водой действует на выливающуюся из отверстия воду с силой \(F = P\sigma = \rho gH\sigma\), которая по третьему закону Ньютона равна искомой реактивной силе тяги, то есть \(F_{\text{тяги}} = F = \rho gH\sigma\). Можно прийти к такому же выражению, рассматривая нескомпенсированную силу давления воды на участок стенки сосуда, противоположный отверстию.

2. В динамической модели расчёт проводится через скорость \(v\) вытекающей воды. За малый промежуток времени \(\Delta t\) через отверстие выльется вода массой \(\Delta m = \rho\sigma v\Delta t\). Пренебрегая потерями энергии из-за явления вязкости и изменением кинетической энергии оставшейся в сосуде воды, запишем закон сохранения энергии системы: \[\Delta m\,gH = \frac{\Delta m}{2}v^2,\] откуда \[v^2 = 2gH.\] Из закона изменения импульса вытекшей воды \(\Delta m\,v = F\Delta t\) найдём силу давления \(F = \rho\sigma v^2 = 2\rho gH\sigma\), которая по третьему закону Ньютона равна искомой реактивной силе тяги, то есть \(F_{\text{тяги}} = F = 2\rho gH\sigma\).

Видно, что результаты, полученные в двух моделях, различаются в 2 раза! В силу сомнительности основного предположения статической модели второй результат следует считать более правильным, однако и динамическая модель даёт лишь приближённый результат. Поскольку точное определение \(v\) требует применения методов из курса гидродинамики, которые выходят за рамки программы олимпиады, а по условию нужно лишь оценить искомые величины, оба расчёта можно считать верными в рамках данной задачи.

Сразу после выскальзывания пробки масса воды в сосуде \(m = \rho HS\), сила трения между сосудом и столом \(F_{\text{тр}} = \mu(M + m)g\). Из второго закона Ньютона \[(M + m)a = F_{\text{тяги}} - F_{\text{тр}}\] находим \[\mu = \frac{2\rho H\sigma}{M + \rho HS} - \frac{a}{g}.\] Поскольку при увеличении коэффициента трения \(\mu\) ускорение \(a\) убывает, сосуд останется в покое при любых коэффициентах трения из диапазона \[\mu_0 \geqslant \frac{2\rho H\sigma}{M + \rho HS}.\]