Вверх – вниз

Жидкость несжимаема: скорость в трубе находят из массового расхода. Растекание в зазоре — рост объёма цилиндра \(\pi R^2h\) с постоянным расходом. Купол: вода уходит с краёв дисков горизонтально и падает как тело, брошенное горизонтально.

2.1.1) \(v_0=\dfrac{q}{\rho\pi r^2}\approx 5{,}6\) м/с; 2.1.2) \(R(t)=\sqrt{\dfrac{qt}{\pi\rho h}}\); 2.1.3) \(v(t)=\dfrac12\sqrt{\dfrac{q}{\pi\rho h t}}\); 2.2) \(R\approx1{,}2\) м, при уменьшении \(h\) вдвое \(R'\approx 2{,}3\) м.

1) Рассмотрим струю жидкости радиусом \(r\), движущуюся со скоростью \(\upsilon_0\) по трубе. За промежуток времени \(\Delta t\) через произвольное поперечное сечение \(\text{АВ}\) (рис. 3) струи площадью \(S = \pi r^2\) пройдет жидкость объемом

\[V = S \cdot h = S \upsilon_0 \Delta t = \pi r^2 \upsilon_0 \Delta t.\]

Соответственно для массового расхода в этом случае получаем

\[q = \frac{m}{\Delta t} = \frac{\rho V}{\Delta t} = \frac{\rho \pi r^2 \upsilon_0 \Delta t}{\Delta t} = \rho \pi r^2 \upsilon_0.\tag{1}\]

Из (1) найдем скорость жидкости в вертикальном сечении струи

\[\upsilon_0 = \frac{q}{\rho \pi r^2} = 5{,}6 \frac{\text{м}}{\text{с}}.\tag{2}\]

2) Поскольку жидкость несжимаема, то объем жидкости, попавший на поверхность за некоторый промежуток времени \(t\) должен быть равен объему цилиндра, который образует жидкость при растекании по поверхности (см. рис. 01). Пусть радиус пятна в рассматриваемый момент \(R(t)\), тогда объем образовавшегося цилиндра найдем как \(V = S \cdot h = \pi R^2(t) \cdot h\). Из этого условия следует, что

\[m = q t = \rho V = \rho \pi R^2(t) h.\]

Из последнего равенства находим

\[R(t) = \sqrt{\frac{q t}{\rho \pi h}}.\tag{3}\]

Таким образом, радиус пятна растекания жидкости по поверхности увеличивается с течением времени прямо пропорционально квадратному корню из времени течения

\[R(t) \propto \sqrt{t}.\]

Примерный график полученной зависимости (3) приведен ниже.

3) Пусть за малый промежуток времени \(\Delta t\) радиус пятна увеличился на \(\Delta R\) (\(\Delta R \ll R\)) (рис. 4). Жидкость, поступившая на поверхность за промежуток времени \(\Delta t\), «заполнит» выделенное на рисунке кольцо (сильно увеличено). Согласно полученному выражению (3) можем записать следующие равенства

\[R^2 = \frac{q}{\rho \pi h} \cdot t\tag{4}\]

\[(R + \Delta R)^2 = \frac{q}{\rho \pi h} \cdot (t + \Delta t).\tag{5}\]

Вычитая из (5) равенство (4), найдем связь между малыми величинами \(\Delta t\) и \(\Delta R\)

\[2 R \Delta R+\Delta R^{2}=\frac{q}{\rho \pi h} \cdot \Delta t .\]

Поскольку \(\Delta R \square R\), то в последнем равенстве можно пренебречь \(\Delta R^{2}\) по сравнению со слагаемым \(2 R \Delta R\).

Соответственно, для скорости \(\upsilon(t)\) движения границы пятна по поверхности получаем

\[\upsilon(t)=\frac{\Delta R}{\Delta t}=\frac{q}{\rho \pi h} \cdot \frac{1}{2 R}=\left\{R(t)=\sqrt{\frac{q t}{\rho \pi h}}\right\}=\frac{1}{2} \sqrt{\frac{q}{\rho \pi h}} \cdot \frac{1}{t} .\tag{6}\]

Таким образом, согласно (6) скорость \(\upsilon(t)\) движения границы пятна убывает обратно пропорционально квадратному корню от времени

\[\upsilon(t) \square \frac{1}{\sqrt{t}} .\]

Для определения функции \(\upsilon(t)\) можно также найти производную от выражения (3) по времени, что несколько быстрее приводит к ответу

\[\upsilon(t)=\frac{\Delta R}{\Delta t}=\left(\sqrt{\frac{q t}{\rho \pi h}}\right)^{\prime}=\frac{1}{2} \sqrt{\frac{q}{\rho \pi h t}} .\tag{7}\]

Для получения графика (таблицы) зависимости (6) можно также «вручную» обработать зависимость (3) скажем, для 10 точек и нанести точки на график (см. рис.). При этом получается монотонно убывающий график искомой зависимости \(\upsilon(t)\).

4) Радиус водяного купола на земле определяется величиной \(r\), а также начальной горизонтальной скоростью \(\vec{\upsilon}_{0}\) струи на выходе из Т - образной конструкции (рис. 5) и временем \(t=\sqrt{\frac{2 H}{g}}\) полета (падения) частиц воды с высоты \(H\)

\[R=r+\upsilon_{0} t .\]

Масса воды, входящей в трубу \(A B\), должна быть равна массе воды, выходящей через боковую поверхность конструкции (купола). В противном случае вода накапливалась бы в куполе, чего не происходит.

Это соображение позволит нам вычислить начальную горизонтальную скорость \(\vec{\upsilon}_{0}\) воды на выходе из купола.

Если мысленно «развернуть» боковую поверхность Т - образной конструкции, через которую выходит вода, то получим прямоугольник (выделен на рис. 6) со сторонами \(h\) и \(2 \pi r\).

Следовательно, расход воды через боковую поверхность купола можем записать в виде

\[q \Delta t=\rho 2 \pi r h \upsilon_{0} \Delta t \quad \Rightarrow \quad \upsilon_{0}=\frac{q}{2 \pi \rho r h} .\]

Соответственно, радиус водяного купола найдем, зная время падения воды и ее начальную скорость

\[R = r + \upsilon_0 t = r + \frac{q}{2\pi\rho r h} \sqrt{\frac{2H}{g}}.\tag{8}\]

Расчет по (8) дает

\[R = 1{,}2\,\text{м}.\]

Как следует из (8), при уменьшении \(h\) в \(\eta = 2{,}0\) раза новый радиус купола на земле

\[R' = r + \upsilon_0 t = r + \frac{q}{\pi\rho r h} \sqrt{\frac{2H}{g}} = 2{,}3\,\text{м},\]

увеличится в \(\eta = \dfrac{R'}{R} = 1{,}9\) раза.

Интересно, что в действующих установках «водяных куполов» при большом значении \(H\) поверхностное натяжение может даже «схлопнуть» купол так, что его радиус практически станет равным нулю. Однако при небольшой высоте купола влиянием поверхностного натяжения можно пренебречь.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.