Плотности Земли и Солнца

Притяжение Солнца заставляет Землю двигаться по окружности, а притяжение самой Земли даёт \(g\). Выразите массы через \(G\) и сравните: \(G\) и расстояние до Солнца сократятся.

\(\dfrac{\rho_\text{З}}{\rho_\text{С}}=\dfrac{g\,\alpha^3T^2}{32\pi^2R_1}\approx4{,}4\).

Что происходит. Земля обращается вокруг Солнца по круговой орбите радиуса \(L\) за год \(T\); сила притяжения Солнца — центростремительная. Ускорение \(g\) на поверхности Земли определяется массой и радиусом Земли. Главная идея — записать \(GM_\text{С}\) и \(GM_\text{З}\) без \(G\) по отдельности: гравитационная постоянная и расстояние \(L\) в ответ не войдут.

Обозначения. \(M_\text{З}\), \(M_\text{С}\) — массы Земли и Солнца, \(R_1\) — радиус Земли, \(R_\text{С}\) — радиус Солнца, \(\rho_\text{З}\), \(\rho_\text{С}\) — плотности, \(L\) — расстояние от Земли до Солнца, \(T\) — год.

1. Движение Земли. Второй закон Ньютона для Земли в проекции на направление к Солнцу: сила тяготения Солнца сообщает центростремительное ускорение, Земля движется по окружности (круговую орбиту принимаем) \[G\frac{M_\text{С}M_\text{З}}{L^2}=M_\text{З}\,\frac{4\pi^2}{T^2}\,L\quad\Rightarrow\quad GM_\text{С}=\frac{4\pi^2L^3}{T^2}.\]

2. Поверхность Земли. Тело массой \(m\) у поверхности Земли притягивается с силой \(mg\), это сила тяготения Земли: \[mg=G\frac{M_\text{З}m}{R_1^2}\quad\Rightarrow\quad GM_\text{З}=gR_1^2.\] Делим результат пункта 1 на результат пункта 2: \[\frac{M_\text{С}}{M_\text{З}}=\frac{4\pi^2L^3}{g\,R_1^2\,T^2}.\]

3. Радиус Солнца. Из рисунка луч зрения касается диска Солнца, радиус в точке касания перпендикулярен лучу, поэтому \(R_\text{С}=L\sin\dfrac\alpha2\). Угол мал, \(\sin x\approx x\): \[R_\text{С}=\frac{L\alpha}{2},\qquad L=\frac{2R_\text{С}}{\alpha}.\]

4. Плотности. Масса шара \(M=\dfrac43\pi R^3\rho\), поэтому \[\frac{M_\text{С}}{M_\text{З}}=\frac{\rho_\text{С}R_\text{С}^3}{\rho_\text{З}R_1^3}.\] Приравняем с результатом пункта 2 и подставим \(L=2R_\text{С}/\alpha\), радиус Солнца сокращается: \[\frac{\rho_\text{С}R_\text{С}^3}{\rho_\text{З}R_1^3}=\frac{4\pi^2\cdot8R_\text{С}^3}{\alpha^3\,g\,R_1^2\,T^2}\quad\Rightarrow\quad\frac{\rho_\text{З}}{\rho_\text{С}}=\frac{g\,\alpha^3\,T^2}{32\pi^2R_1}.\]

Число: \(\dfrac{10\cdot(10^{-2})^3\cdot(3\cdot10^{7})^2}{32\cdot9{,}87\cdot6{,}4\cdot10^{6}}=\dfrac{9\cdot10^{9}}{2{,}0\cdot10^{9}}\approx4{,}5\).

Обратите внимание: \(\alpha\) входит в третьей степени, угол должен быть в радианах; \(\alpha\) — диаметр, а не радиус, отсюда \(\alpha/2\) и множитель \(8\) в знаменателе.

Ответ: \(\dfrac{\rho_\text{З}}{\rho_\text{С}}=\dfrac{g\alpha^3T^2}{32\pi^2R_1}\approx4{,}4\) (при округлённых данных получается \(4{,}45\)).

Проверка. Размерность: \(gT^2/R_1\) — безразмерна. Реальные плотности \(5{,}5\) и \(1{,}4\) г/см\(^3\) дают около \(3{,}9\); расхождение объясняется округлением: настоящий угол \(\alpha\approx9{,}3\cdot10^{-3}\) рад, а \(\alpha^3\) усиливает его ошибку в \(0{,}93^{-3}\approx1{,}25\) раза.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.