Мощность вертолёта

Вертолёт висит, потому что винт отбрасывает воздух вниз. За секунду винт отбрасывает столб воздуха сечением \(\pi l^2\) и длиной, равной скорости потока.

\(N=\dfrac{Mg}{2}\sqrt{\dfrac{Mg}{\pi\rho l^2}}\approx3\cdot10^{4}\) Вт \(=30\) кВт.

Что происходит. Винт отбрасывает воздух вниз, воздух по третьему закону Ньютона толкает вертолёт вверх. В режиме висения сила со стороны воздуха равна \(Mg\). Двигатель тратит мощность на то, чтобы каждую секунду придавать отброшенному воздуху кинетическую энергию. Главная идея — рассмотреть малое время \(dt\) и массу воздуха, отброшенную за него.

Обозначения. \(v\) — скорость потока воздуха под винтом, \(\rho\) — плотность воздуха, \(S=\pi l^2\) — площадь, ометаемая лопастями, \(N\) — искомая мощность.

1. Масса отброшенного воздуха. За малое время \(dt\) через площадь \(S\) проходит столб воздуха длиной \(v\,dt\), его масса (рисунок) \[dm=\rho S\,v\,dt=\rho\pi l^2v\,dt .\]

2. Сила тяги. Воздух этой порции до взаимодействия с винтом покоился, после — движется со скоростью \(v\). Второй закон Ньютона для воздуха в импульсной форме, в проекции на ось вниз: сила, действующая со стороны винта на воздух, \(F\,dt=dm\,v\), откуда \(F=\rho\pi l^2v^2\). По третьему закону Ньютона воздух действует на вертолёт с такой же силой вверх. Вертолёт висит, поэтому (второй закон Ньютона для вертолёта в проекции на вертикаль) \[\rho\pi l^2v^2=Mg\quad\Rightarrow\quad v=\sqrt{\frac{Mg}{\pi\rho l^2}} .\]

3. Мощность. Работа двигателя за \(dt\) идёт на кинетическую энергию отброшенной порции воздуха (другие потери не учитываем), поэтому \[N\,dt=\frac{dm\,v^2}{2}\quad\Rightarrow\quad N=\frac{\rho\pi l^2v^3}{2}=\frac{Mg\,v}{2}.\] Обратите внимание: \(N=Mgv/2\), а не \(Mgv\): вертолёт неподвижен и полезной работы над ним не совершается, вся мощность уходит в энергию струи.

4. Число. Плотность воздуха найдём из уравнения состояния при \(p=10^5\) Па и \(T=300\) К: \(\rho=\dfrac{p\mu}{RT}\approx1{,}2\text{ кг/м}^3\) (\(\mu=0{,}029\) кг/моль). Тогда \[v=\sqrt{\frac{500\cdot10}{1{,}2\cdot3{,}14\cdot9}}\approx12\text{ м/с},\qquad N=\frac{500\cdot10\cdot12}{2}\approx3\cdot10^{4}\text{ Вт}.\]

Ответ: \(N=\dfrac{Mg}{2}\sqrt{\dfrac{Mg}{\pi\rho l^2}}\approx30\) кВт.

Проверка. Размерность: \(Mg\,v\) — Н\(\cdot\)м/с \(=\) Вт. Чем длиннее лопасти, тем меньше мощность (\(N\propto1/l\)): при \(l\to\infty\) нужен ничтожный поток \(v\to0\), и мощность стремится к нулю — поэтому у вертолётов лопасти длинные. Физический смысл: тот же импульс \(Mg\,dt\) выгоднее передавать большой массе воздуха с малой скоростью, потому что энергия растёт как \(v^2\), а импульс — как \(v\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.