Два двигателя ракеты

Ракета стартует из покоя. Каждый двигатель добавляет скорость \(a_it_i\) в любом режиме; режимы отличаются тем, как долго ракета летит с этой добавкой до момента окончания работы.

Сначала включить первый двигатель (с большим ускорением) на всё время \(t_1\) и сразу после его выключения включить второй на время \(t_2\). Высота в этом режиме \(H=\dfrac{a_1t_1^2}{2}+a_1t_1t_2+\dfrac{a_2t_2^2}{2}\) — больше, чем при любом другом порядке.

Что происходит. Ракета стартует с поверхности из покоя. Что бы мы ни делали, каждый двигатель сообщает ей скорость \(a_it_i\), а скорости и пути от двух двигателей складываются. Разница между режимами лишь в том, как рано набрана каждая добавка скорости: чем раньше двигатель отработал, тем дольше ракета до момента окончания работы летит по инерции с его добавкой. Главная идея — записать высоту через время от выключения каждого двигателя до конца работы.

Обозначения и модель. Ось \(y\) вверх, начало на старте. Силу тяжести и сопротивление воздуха не учитываем (в условии \(g\) не задано, а \(a_1\), \(a_2\) — ускорения, которые двигатели сообщают ракете). Двигатели включаются без пауз: сразу после старта работает хотя бы один, и так до момента \(T\) окончания работы всех двигателей. Двигатель \(i\) включён на промежутке длиной \(t_i\) и выключается за время \(e_i\) до момента \(T\); тот, что выключается последним, имеет \(e=0\).

1. Высота от одного двигателя. Ускорения складываются, поэтому высоту можно считать как сумму вкладов двигателей. Двигатель \(i\) разгоняет ракету из покоя за время \(t_i\) до скорости \(a_it_i\) и поднимает её за это время на \(\dfrac{a_it_i^2}{2}\); затем до момента \(T\) ракета летит с этой скоростью ещё время \(e_i\) и поднимается на \(a_it_ie_i\). Полная высота \[H=a_1t_1\left(\frac{t_1}{2}+e_1\right)+a_2t_2\left(\frac{t_2}{2}+e_2\right).\]

2. Какое \(e_i\) возможно. Без пауз все промежутки работы укладываются в \([0,T]\), а их общая длина не больше \(t_1+t_2\) (при совместной работе короче). Поэтому \(T\le t_1+t_2\), и для двигателя, который выключается раньше другого, время до конца работы \(e_i\le T-t_i\le t_{\,j}\), где \(j\) — другой двигатель. Рассмотрим два случая.

Если последним выключается второй двигатель (\(e_2=0\)), то \(e_1\le t_2\) и \[H\le \frac{a_1t_1^2}{2}+a_1t_1t_2+\frac{a_2t_2^2}{2}=H_{12}.\] Равенство достигается, когда первый двигатель работает с самого старта, а второй включается сразу за ним: режим А на рисунке.

Если последним выключается первый (\(e_1=0\)), то \(e_2\le t_1\) и \[H\le \frac{a_2t_2^2}{2}+a_2t_2t_1+\frac{a_1t_1^2}{2}=H_{21}\] (режим Б).

3. Сравнение. \[H_{12}-H_{21}=(a_1-a_2)\,t_1t_2>0,\] потому что \(a_1>a_2\). Значит, лучший режим — А: сначала первый двигатель, затем второй. Режим В (двигатели вместе) заканчивается раньше, и по формуле из пункта 1 он оказывается хуже обоих.

На рисунке — графики скорости при \(a_1=3\), \(a_2=1\), \(t_1=2\), \(t_2=5\) (условные единицы). Площадь под графиком равна пройденной высоте: для режимов А, Б, В она равна \(48{,}5\); \(28{,}5\) и \(36{,}5\). Конечная скорость у всех одна и та же, \(a_1t_1+a_2t_2=11\); выигрывает тот режим, где большее ускорение действует раньше.

Обратите внимание: сравнивается высота в момент окончания работы двигателей, а не в один и тот же момент времени. Если дать ракете лететь по инерции до момента \(t_1+t_2\), режим В, закончивший работу раньше, ещё добавит \(11\cdot 2=22\) и обгонит режим А — но это уже другой вопрос, чем в условии.

Ответ: сначала первый двигатель на время \(t_1\), затем второй на время \(t_2\); \[H=\frac{a_1t_1^2}{2}+a_1t_1t_2+\frac{a_2t_2^2}{2}.\]

Проверка. При \(a_1=a_2\) разность \(H_{12}-H_{21}\) обращается в нуль: порядок не важен, как и должно быть, когда двигатели одинаковы. При \(t_1\to0\) первый двигатель выпадает, и остаётся \(\dfrac{a_2t_2^2}{2}\) — высота при равноускоренном подъёме. Физический смысл: ракете выгоднее сначала разогнаться сильнее, чтобы дольше лететь с набранной скоростью.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.