Корабль на орбите Луны

Если притяжение Земли и Луны взаимно уничтожается, что сообщает кораблю центростремительное ускорение, нужное для движения по окружности?

Двигатели работают: сила тяги направлена к центру Земли. Вес космонавта \(P=m\omega^2r\approx0{,}17\) Н, направлен от центра Земли (примерно в \(4000\) раз меньше обычного).

Что происходит. Корабль и Луна лежат на одной прямой с Землёй и вращаются вокруг неё с одной угловой скоростью \(\omega\), поэтому прямая Земля — Луна — корабль вращается как жёсткая. Для круговой орбиты нужна сила, направленная к центру. Если притяжения Земли и Луны взаимно уничтожаются, эту силу может дать только двигатель.

Обозначения. \(D=60R_\text{З}\) — расстояние от Земли до Луны, \(r\) — от Земли до корабля, \(M\) и \(M/81\) — массы Земли и Луны, \(m\) — масса космонавта, \(T=27{,}3\) суток — период, \(\omega=2\pi/T\).

1. Где корабль. Силы притяжения противоположны (корабль между Землёй и Луной) и равны по модулю по закону всемирного тяготения: \[\frac{GM\mu}{r^2}=\frac{G\,(M/81)\,\mu}{(D-r)^2}\quad\Rightarrow\quad\frac{r}{D-r}=\sqrt{81}=9\quad\Rightarrow\quad r=0{,}9\,D=54R_\text{З}\approx3{,}5\cdot10^{5}\text{ км},\] где \(\mu\) — масса корабля, сократилась.

2. Нужна ли тяга. Корабль движется по окружности радиуса \(r\) с угловой скоростью \(\omega\), значит, его ускорение направлено к Земле и равно \(a=\omega^2r\). Второй закон Ньютона для корабля в проекции на направление к Земле: сумма сил притяжения равна нулю, поэтому \[F=\mu a=\mu\omega^2r\ne0 .\] Это сила тяги, направленная к центру Земли: двигатели работают.

3. Вес космонавта. Космонавт движется с тем же ускорением \(a\) к Земле. Тяготение на него тоже уравновешено (силы Земли и Луны компенсируются), поэтому единственная сила, действующая на космонавта, — сила \(N\) со стороны пола корабля. Пол — та его сторона, которая дальше от Земли: именно к ней прижимается космонавт. Второй закон Ньютона для космонавта в проекции на направление к Земле: \(N=ma=m\omega^2r\). Вес — это сила, с которой космонавт давит на пол; по третьему закону Ньютона она равна \(N\) по модулю и направлена от центра Земли.

\[P=m\omega^2r=m\,\frac{4\pi^2}{T^2}\,0{,}9D,\qquad T=27{,}3\cdot86\,400\text{ с}\approx2{,}36\cdot10^{6}\text{ с},\] \[\omega\approx2{,}66\cdot10^{-6}\text{ с}^{-1},\quad a=\omega^2r\approx2{,}45\cdot10^{-3}\text{ м/с}^2,\quad P\approx70\cdot2{,}45\cdot10^{-3}\approx0{,}17\text{ Н}.\]

Обратите внимание: вес не равен нулю, хотя результирующее тяготение нулевое. Вес — это не сила тяжести, а сила давления на опору, а опора здесь разгоняет космонавта к Земле. Космонавт ощущает почти невесомость: \(P\) примерно в \(4000\) раз меньше \(mg\approx690\) Н.

Обратите внимание: точка равных по модулю сил есть и за Луной (на расстоянии \(D/8\) от неё), но там обе силы направлены к Земле и не компенсируются; в условии — корабль между телами, где силы противоположны.

Ответ: двигатели работают (тяга направлена к центру Земли); вес космонавта \(P=m\omega^2r\approx0{,}17\) Н, направлен от центра Земли.

Проверка. Размерность: \(m\omega^2r\) — кг\(\cdot\)с\(^{-2}\cdot\)м \(=\) Н. Если бы корабль стоял неподвижно в точке равных сил, он «висел» бы без тяги и вес был бы нулевой; здесь \(\omega\ne0\), и ускорение мало, потому что период — месяц. Физический смысл: вес космонавта — это масса, умноженная на ускорение корабля, и ничего больше.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.