Реостат и нагрузка

Нагрузка включена параллельно нижней части реостата, так что делитель напряжения нельзя считать по отношению сопротивлений частей реостата. Запишите напряжение на нагрузке как функцию доли \(\alpha=R_2/R\).

Движок нужно сдвинуть вниз так, чтобы сопротивление нижней части реостата стало \(R_2=(\sqrt5-2)R\approx0{,}24R\) (вместо \(0{,}5R\)).

Что происходит. Реостат работает как делитель напряжения: верхняя часть \(R_1\) соединена последовательно с группой «нижняя часть \(R_2\) параллельно нагрузке \(R\)». Напряжение на нагрузке равно напряжению на этой группе, и оно зависит от положения движка нелинейно, потому что нагрузка шунтирует нижнюю часть. Главная идея — получить \(U\) как функцию \(\alpha\), а затем потребовать равенства при двух разных \(U_\text{вх}\).

Обозначения. \(R_1\) и \(R_2\) — сопротивления верхней и нижней частей реостата, \(R_1+R_2=R\) (сопротивление пропорционально длине участка), \(\alpha=R_2/R\), точки \(A\) и \(B\) — концы нижней части (между ними нагрузка).

1. Сопротивление группы \(R_2\parallel R\). Параллельное соединение: \[R_\text{э}=\frac{RR_2}{R+R_2}=R\,\frac{\alpha}{1+\alpha}.\]

2. Напряжение на нагрузке. Ток в цепи по закону Ома для всей цепи \(I=\dfrac{U_\text{вх}}{R_1+R_\text{э}}\), напряжение на группе (и на нагрузке) \(U=IR_\text{э}\), причём \(R_1=R-R_2=R(1-\alpha)\): \[U=U_\text{вх}\frac{R_\text{э}}{R_1+R_\text{э}}=U_\text{вх}\,\frac{\alpha/(1+\alpha)}{(1-\alpha)+\alpha/(1+\alpha)}=U_\text{вх}\,\frac{\alpha}{1+\alpha-\alpha^2}.\] Обратите внимание: без нагрузки было бы \(U=U_\text{вх}\alpha\); формулу делителя «по частям реостата» здесь применять нельзя, нагрузка потребляет ток из нижней части.

3. Начальное положение. При \(\alpha_1=\dfrac12\): \[U_1=U_\text{вх}\,\frac{1/2}{1+1/2-1/4}=\frac25\,U_\text{вх}.\]

4. Новое положение. Входное напряжение стало \(2U_\text{вх}\), напряжение на нагрузке должно остаться \(\dfrac25U_\text{вх}\): \[2U_\text{вх}\,\frac{\alpha_2}{1+\alpha_2-\alpha_2^2}=\frac25U_\text{вх}\quad\Rightarrow\quad5\alpha_2=1+\alpha_2-\alpha_2^2\quad\Rightarrow\quad\alpha_2^2+4\alpha_2-1=0 .\] Корень с \(\alpha_2>0\): \(\alpha_2=-2+\sqrt5\approx0{,}236\) (второй корень отрицателен и сопротивления не соответствует).

График показывает, почему корень один: \(U/U_\text{вх}\) растёт от 0 до 1 при \(\alpha\) от 0 до 1 (производная \(\dfrac{1+\alpha^2}{(1+\alpha-\alpha^2)^2}>0\)), и нужное значение \(0{,}2\) достигается ровно в одной точке.

Ответ: движок сдвинуть вниз так, чтобы \(R_2=(\sqrt5-2)R\approx0{,}24\,R\) вместо \(0{,}5R\), то есть примерно до четверти длины реостата от нижнего конца.

Проверка. Подставим \(\alpha_2=0{,}236\) обратно: \(\dfrac{0{,}236}{1+0{,}236-0{,}0557}=\dfrac{0{,}236}{1{,}180}=0{,}200\), и \(2\cdot0{,}200=0{,}400\), как в начале. Предельные случаи: \(\alpha=0\) даёт \(U=0\), \(\alpha=1\) даёт \(U=U_\text{вх}\) (движок наверху, нагрузка прямо на входе). Физический смысл: вдвое большее напряжение на входе нужно «погасить», уменьшив долю нижней части больше чем вдвое: нагрузка шунтирует её, и зависимость \(U(\alpha)\) вогнута вверх.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.