Разрушение роя Фаэтона

Рой падает на Юпитер свободно, поэтому его глыбы разъезжаются не из-за самого притяжения Юпитера, а из-за его неодинаковости: ближний к планете край притягивается сильнее центра. С чем надо сравнить эту разность ускорений, чтобы глыба на краю оторвалась?

Рой начинает разваливаться на расстоянии \(R\le\rho\sqrt[3]{2M/m}\approx1{,}3\cdot10^{6}\) км от центра Юпитера.

Что происходит. Рой летит мимо Юпитера как единое свободно падающее тело. В системе отсчёта, связанной с центром роя, равномерное притяжение Юпитера исчезает, а остаётся только его неодинаковость: глыба на ближнем к Юпитеру краю притягивается сильнее, чем центр роя, а глыба на дальнем краю — слабее. Разность ускорений растягивает рой вдоль линии, соединяющей его с Юпитером. Пока она меньше собственного притяжения глыбы к рою, рой цел; когда становится больше — глыба отрывается. Главная идея — сравнить приливное ускорение с ускорением силы тяжести на поверхности роя.

Обозначения. \(M\) — масса Юпитера, \(m=M/10^6\) — масса роя, \(\rho=10^4\) км — радиус роя, \(R\) — расстояние от центра Юпитера до центра роя, \(R\gg\rho\) (проверим в конце). Рой считаем шаром, не вращающимся как целое: его глыбы связаны только взаимным притяжением.

1. Ускорение глыбы на краю роя, вызванное притяжением Юпитера. Закон всемирного тяготения для глыбы единичной массы: у ближнего к Юпитеру края (расстояние \(R-\rho\)) ускорение равно \(GM/(R-\rho)^2\), у центра роя (расстояние \(R\)) — \(GM/R^2\). Относительно центра роя край получает ускорение, направленное к Юпитеру, то есть от центра роя: \[\Delta a=\frac{GM}{(R-\rho)^2}-\frac{GM}{R^2}\approx\frac{2GM\rho}{R^3},\] потому что при \(\rho\ll R\) разность \(\dfrac{1}{(R-\rho)^2}-\dfrac1{R^2}\approx\dfrac{2\rho}{R^3}\).

2. Собственное притяжение. На краю роя глыбу притягивает к центру всё вещество роя: по закону всемирного тяготения \(a_c=Gm/\rho^2\) (для шара — как если бы вся масса была в центре).

3. Условие разрушения. Глыба на ближнем краю оторвётся, когда приливное ускорение превысит собственное притяжение, \(\Delta a\ge a_c\): \[\frac{2GM\rho}{R^3}\ge\frac{Gm}{\rho^2}\quad\Rightarrow\quad R^3\le\frac{2M}{m}\,\rho^3 .\] Отсюда \[R\le\rho\sqrt[3]{\frac{2M}{m}}=10^4\text{ км}\cdot\sqrt[3]{2\cdot10^{6}}\approx10^4\text{ км}\cdot126\approx1{,}3\cdot10^{6}\text{ км}.\] Обратите внимание: разрушает рой не сама сила притяжения Юпитера, а разность её значений на краю и в центре; поэтому зависимость от расстояния кубическая, а не квадратичная, а \(G\) и масса Юпитера в ответ входят только через отношение \(M/m\).

На графике оба ускорения даны в единицах \(Gm/\rho^2\): \(a_c\) от расстояния не зависит, а \(\Delta a=2\cdot10^{6}\,(\rho/R)^3\) быстро падает; при \(R=126\rho\) они равны.

Проверка. Размерность: \([GM\rho/R^3]=[Gm/\rho^2]\), отношение масс безразмерно. Найденное \(R\approx126\rho\gg\rho\), поэтому приближение \(2\rho/R^3\) законно (точная формула даёт разницу меньше процента). Чем легче рой (меньше \(m/M\)), тем ближе к Юпитеру он должен подойти: чтобы разорвать плотный каменный шар, нужно подойти гораздо ближе, а разреженный рой рвётся уже на большом расстоянии.

Ответ: рой должен был пройти от центра Юпитера не дальше \(R=\rho\sqrt[3]{2M/m}\approx1{,}3\cdot10^{6}\) км.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.