Нагрев закрытого сосуда с паром и водой

В конце вся вода стала паром, а объём сосуда не менялся. Запишите уравнение состояния для пара в начале и в конце. Затем вспомните, что в конце пар ещё насыщенный, и свяжите давление с температурой по данной в условии прибавке \(\Delta p\). Теплоту ищите как изменение внутренней энергии.

\(T\approx100{,}3\,{}^\circ\)C (\(\Delta T\approx0{,}3\) К);  \(Q\approx2{,}1\) кДж.

Что происходит. Сосуд жёсткий, объём \(V\) не меняется. Пока в сосуде есть вода, пар насыщенный, и его давление растёт вместе с температурой по закону \(p_{\text{н}}(T)\). Нагревание нужно, чтобы вода ещё и испарилась, а испарившийся пар добавил давление. Вода кончилась, когда масса пара выросла от \(M\) до \(M+m\), а пар остался насыщенным. Главная идея: в конце одновременно выполнены два условия — пар насыщенный (давление берётся из зависимости \(p_{\text{н}}(T)\)) и пар в объёме \(V\) подчиняется уравнению Менделеева — Клапейрона. Из них находим температуру; теплоту — по изменению внутренней энергии.

Обозначения. \(T_0=373\) К, \(p_0=1{,}01\cdot10^5\) Па — давление насыщенного пара при \(100\,{}^\circ\)C (вода кипит при нормальном давлении), \(\mu=18\) г/моль, \(R=8{,}31\) Дж/(моль\(\cdot\)К). \(\Delta T\) — повышение температуры, \(p_k\) — давление в конце. Объёмом воды (1 см\(^3\)) пренебрегаем: он ничтожен по сравнению с объёмом пара (\(\approx170\) л). Пар считаем идеальным газом.

1. Уравнение Менделеева — Клапейрона для пара в начале и в конце. Для начального состояния (масса пара \(M\), температура \(T_0\), давление \(p_0\)) и для конечного (масса пара \(M+m\), температура \(T_0+\Delta T\), давление \(p_k\)) в одном и том же объёме \(V\): \[p_0V=\frac M\mu RT_0,\qquad p_kV=\frac{M+m}{\mu}R\,(T_0+\Delta T).\] Делим второе на первое: \[p_k=p_0\left(1+\frac mM\right)\left(1+\frac{\Delta T}{T_0}\right).\]

2. Условие насыщения в конце. Пар в конце ещё насыщенный. На малом интервале температуры давление насыщенного пара растёт линейно, по условию на \(\Delta p\) при нагреве на 1 К: \[p_k=p_0+\Delta p\,\frac{\Delta T}{1\text{ К}}.\]

3. Температура. Приравниваем два выражения для \(p_k\) (на рисунке — пересечение прямой \(p_{\text{н}}\) с изохорой пара \(M+m\)): \[p_0+\Delta p\,\Delta T=p_0\left(1+\frac mM\right)\left(1+\frac{\Delta T}{T_0}\right) \quad\Rightarrow\quad \Delta T=\frac{p_0\,m/M}{\Delta p-p_0\,(1+m/M)/T_0}\cdot(1\text{ К}).\] Подставим: \(p_0\,m/M=1{,}01\cdot10^{3}\) Па, \(p_0(1+m/M)/T_0=0{,}27\) кПа/К, \(\Delta p=3{,}7\) кПа/К: \[\Delta T=\frac{1{,}01}{3{,}7-0{,}27}\text{ К}\approx0{,}3\text{ К}.\] Сосуд нужно нагреть до \(T\approx100{,}3\,{}^\circ\)C. Результат мал, так что линейность \(p_{\text{н}}(T)\) оправдана.

4. Теплота. Первое начало термодинамики. Объём не меняется, газ работы не совершает, поэтому \(Q=\Delta U\) между начальным и конечным состояниями. Внутренняя энергия — функция состояния, поэтому проведём систему по удобному пути в два этапа.

Этап 1: испарение воды при \(T_0\). Вода массой \(m\) превращается в пар при температуре \(T_0\) и давлении \(p_0\): теплота испарения \(mr\) расходуется на увеличение внутренней энергии и на работу пара \(p_0\,\Delta V=mRT_0/\mu\). Значит, внутренняя энергия растёт на \[Q_1=m\left(r-\frac{RT_0}{\mu}\right).\] Обратите внимание: величина \(r\) задана для испарения при постоянном давлении, в её составе есть работа расширения пара. В жёстком сосуде эта работа не совершается, и в нагрев идёт только остаток.

Этап 2: нагрев пара массой \(M+m\) при постоянном объёме. У идеального газа \(U\) зависит только от \(T\), поэтому \[Q_2=(M+m)\,c_V\,\Delta T .\]

5. Числа. \(RT_0/\mu=8{,}31\cdot373/0{,}018\approx1{,}72\cdot10^{5}\) Дж/кг, откуда \(Q_1=10^{-3}\,(2{,}26-0{,}17)\cdot10^{6}\approx2{,}09\cdot10^{3}\) Дж; \(Q_2=0{,}101\cdot1{,}38\cdot10^{3}\cdot0{,}30\approx41\) Дж. Итого \[Q=Q_1+Q_2\approx2{,}1\cdot10^{3}\text{ Дж}.\]

Проверка. Размерность: \([mr]=\text{кг}\cdot\text{Дж/кг}=\text{Дж}\), \([Mc_V\Delta T]=\text{Дж}\). При \(m\to0\) (воды нет) \(\Delta T\to0\) и \(Q\to0\), как и должно быть: пар остаётся насыщенным без нагрева. Основная часть теплоты (\(\approx98\,\%\)) уходит на испарение, на нагрев пара — два процента.

Ответ: \(T\approx100{,}3\,{}^\circ\)C;  \(Q=m\left(r-\dfrac{RT_0}{\mu}\right)+(M+m)\,c_V\,\Delta T\approx2{,}1\) кДж.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.