Палочка на нити

Нить и гладкий стол работы не совершают, значит, сохраняется механическая энергия. В каком положении центр палочки ниже всего и чему равна тогда скорость второго конца палочки по сравнению со скоростью первого?

\(v_{\max}=\sqrt{g\left(l-\dfrac H2\right)}\).

Что происходит. Верхний конец палочки привязан к нити, поэтому он движется по дуге окружности радиуса \(l\) вокруг точки \(A\); нижний конец скользит по столу. Сила тяжести тянет центр палочки вниз, и вся энергия идёт в кинетическую: ни нить (она перпендикулярна скорости конца), ни гладкий стол (его реакция вертикальна, а нижний конец движется горизонтально) работы не совершают. Центр палочки ниже всего, когда нить вертикальна, и именно в этот момент палочка движется поступательно, так что вся кинетическая энергия оказывается энергией движения центра. Главная идея — закон сохранения механической энергии в двух положениях: в начальном и при вертикальной нити.

Обозначения. \(m\) — масса палочки, \(C\) — её центр, \(P\) — верхний конец (место крепления нити), \(B\) — нижний конец, \(\varphi\) — угол нити с вертикалью, \(y_C\) — высота центра над столом.

1. Начальное положение. Треугольник \(APB\) равнобедренный: \(AP=PB=l\), а основание \(AB\) вертикально и равно \(H\). Поэтому \(\cos\varphi_0=H/(2l)\), и высота точки \(P\) над столом равна \(H-l\cos\varphi_0=H/2\). Нижний конец \(B\) лежит на столе, центр \(C\) — середина \(PB\), значит \[y_0=\frac{H}{4}.\]

2. Самое низкое положение центра. При произвольном \(\varphi\) высота верхнего конца равна \(H-l\cos\varphi\), высота нижнего равна нулю, и \[y_C=\frac{H-l\cos\varphi}{2}.\] Это наименьшее значение \(y_C\) при \(\varphi=0\), то есть при вертикальной нити: \[y_1=\frac{H-l}{2}.\] Такое положение существует: при \(\varphi=0\) нижний конец лежит на столе левее вертикали на \(l\cos\psi\), где \(\sin\psi=(H-l)/l\), и условие \(l<H<2l\) даёт \(0<\sin\psi<1\).

3. Закон сохранения механической энергии. Работу совершает только сила тяжести, поэтому для палочки между начальным положением и положением с вертикальной нитью \[mgy_0=mgy_1+K,\qquad K=mg\,(y_0-y_1)=mg\left(\frac l2-\frac H4\right),\] где \(K\) — полная кинетическая энергия палочки (поступательная плюс вращательная).

4. Скорости концов при вертикальной нити. Верхний конец движется по окружности вокруг \(A\), а в нижней точке окружности скорость направлена по горизонтали. Нижний конец скользит по столу, его скорость тоже горизонтальна. Палочка твёрдая, поэтому проекции скоростей её концов на саму палочку одинаковы. Палочка наклонена к горизонтали, значит, равны и сами горизонтальные скорости концов: палочка в этот момент движется поступательно, \(\omega=0\), и \[K=\frac{mv_C^2}{2}.\] Обратите внимание: вращательной части энергии здесь нет только в этом положении. В остальных положениях часть энергии уходит во вращение, и скорость центра меньше.

5. Скорость центра. Из пунктов 3 и 4 \[\frac{mv_C^2}{2}=mg\left(\frac l2-\frac H4\right)\quad\Rightarrow\quad v_C^2=g\left(l-\frac H2\right).\]

6. Почему это наибольшая скорость. Кинетическая энергия растёт, пока центр опускается, и достигает наибольшего значения в положении \(y_C=y_1\). В любом положении \(v_C^2\le 2K/m\le 2K_{\max}/m\), а в положении с вертикальной нитью \(v_C^2=2K_{\max}/m\) точно. Обратите внимание: мы считали нить натянутой всё время; численный расчёт силы натяжения (например, для \(H=1{,}5\,l\)) показывает \(T>0\) на всём пути от начала до вертикальной нити, так что нить не провисает.

Зависимость на графике построена численно для \(H=1{,}5\,l\) по закону сохранения энергии: скорость центра растёт при уменьшении \(\varphi\) и достигает \(\sqrt{g\,(l-H/2)}=0{,}5\sqrt{gl}\) при \(\varphi=0\).

Проверка. Размерность: \([g\,l]=\text{м}^2/\text{с}^2\). При \(H=2l\) получаем \(v=0\): палочка уже начинает из положения с вертикальной нитью и дальше никуда не едет. При \(H\to l\) палочка падает на стол с высоты центра \(l/4\) до нуля, \(mgl/4=mv^2/2\), откуда \(v^2=gl/2\), как и даёт формула.

Ответ: \(v_{\max}=\sqrt{g\left(l-\dfrac H2\right)}=\sqrt{\dfrac{g\,(2l-H)}{2}}\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.