Три конденсатора и два резистора

Узлы между конденсаторами изолированы, значит, заряд каждого узла меняется только токами через резисторы. Запишите закон сохранения заряда для узлов и закон Ома для резисторов: токи окажутся одинаковыми, а их спад — экспонентой.

\(Q_R=\dfrac{2C\mathcal E^{2}}{27}\) на каждом резисторе;  токи через оба резистора одинаковы: \(I=\dfrac{19\,\mathcal E}{60R}\) в момент \(t_1=\dfrac{RC}{3}\ln\dfrac{40}{19}\), когда \(u_2=+\dfrac{\mathcal E}{10}\), и \(I=\dfrac{\mathcal E}{60R}\) в момент \(t_2=\dfrac{RC}{3}\ln40\), когда \(u_2=-\dfrac{\mathcal E}{10}\).

Что происходит. Заряженная цепочка конденсаторов замыкается двумя резисторами, и они начинают разряжаться. Между конденсаторами есть изолированные участки проводов (узлы): их полный заряд может измениться только токами через резисторы. Главная идея — закон сохранения заряда для узлов плюс закон Ома для резисторов; из симметрии получается, что токи через резисторы одинаковы и спадают по одной экспоненте.

Обозначения. Узлы цепочки слева направо: \(L\) (левая обкладка первого конденсатора), \(A\) (между первым и вторым), \(B\) (между вторым и третьим), \(D\) (правая обкладка третьего). \(u_k\) — напряжение на \(k\)-м конденсаторе (потенциал правой обкладки минус левой), \(q_k=Cu_k\) — заряд его правой обкладки. Полярность выберем так, чтобы в начале все \(u_k>0\). Один резистор подключён между \(A\) и \(D\), другой — между \(L\) и \(B\).

1. Начальное состояние. Конденсаторы соединены последовательно, их заряды одинаковы, ёмкости тоже, поэтому напряжения равны, а в сумме они дают ЭДС: \(u_1=u_2=u_3=\mathcal E/3\).

2. Закон Ома для резисторов. Потенциалы узлов: \(\varphi_D-\varphi_A=u_2+u_3\) и \(\varphi_B-\varphi_L=u_1+u_2\). Токи текут от большего потенциала к меньшему: \[I_a=\frac{u_2+u_3}{R}\ \ (D\to A),\qquad I_b=\frac{u_1+u_2}{R}\ \ (B\to L).\]

3. Закон сохранения заряда для узлов. Узел \(L\) (левая обкладка первого конденсатора с зарядом \(-q_1\) и подключённый к ней вывод резистора): в него втекает ток \(I_b\), поэтому \(-\dfrac{dq_1}{dt}=I_b\). Узел \(D\) (обкладка с зарядом \(q_3\) и вывод второго резистора): из него вытекает ток \(I_a\), поэтому \(\dfrac{dq_3}{dt}=-I_a\). Узел \(A\) (заряд \(q_1-q_2\)): в него втекает \(I_a\), то есть \(\dfrac{d(q_1-q_2)}{dt}=I_a\), откуда \[\frac{dq_1}{dt}=-I_b,\qquad \frac{dq_3}{dt}=-I_a,\qquad \frac{dq_2}{dt}=-(I_a+I_b).\]

4. Симметрия. Начальные условия для \(u_1\) и \(u_3\) одинаковы (\(\mathcal E/3\)), и уравнения для них одинаковы по форме, поэтому \(u_1=u_3\) всё время, а значит \(I_a=I_b\equiv I\). Тогда \(dq_1/dt=dq_3/dt=-I\), \(dq_2/dt=-2I\), а закон Ома даёт \(RI=u_1+u_2\).

5. Закон изменения тока. Продифференцируем \(RI=u_1+u_2\) по времени и подставим \(\dot u_1=-I/C\), \(\dot u_2=-2I/C\): \[R\frac{dI}{dt}=-\frac{3I}{C}\quad\Rightarrow\quad I(t)=I_0\,e^{-3t/(RC)},\qquad I_0=\frac{u_1+u_2}{R}\bigg|_{t=0}=\frac{2\mathcal E}{3R}.\] Обратите внимание: постоянная времени равна \(RC/3\), а не \(RC\): при токе \(I\) величина \(u_1+u_2\) убывает со скоростью \(3I/C\), потому что один и тот же ток разряжает сразу три «порции» заряда.

6. Теплота на резисторе. Закон Джоуля — Ленца для малого промежутка \(dt\) и сумма по всему разряду (от \(t=0\) до \(t\to\infty\)): \[Q_R=\int\limits_0^\infty I^2R\,dt=I_0^2R\int\limits_0^\infty e^{-6t/(RC)}\,dt=\frac{4\mathcal E^2}{9R}\cdot\frac{RC}{6}=\frac{2C\mathcal E^2}{27}.\]

7. Напряжение на среднем конденсаторе. Из \(\dot u_2=-2I/C\) и \(\dot u_1=-I/C\) интегрированием от начала: \[u_1=\frac{\mathcal E}{9}+\frac{2\mathcal E}{9}\,e^{-3t/(RC)},\qquad u_2=-\frac{\mathcal E}{9}+\frac{4\mathcal E}{9}\,e^{-3t/(RC)} .\] Напряжение на среднем конденсаторе меняет знак: из \(+\mathcal E/3\) уходит в \(-\mathcal E/9\). Поэтому величина \(\mathcal E/10\) достигается дважды (график).

8. Токи в эти моменты. Если \(u_2=+\mathcal E/10\), то \(e^{-3t/(RC)}=\dfrac{19}{40}\), и \[I=I_0e^{-3t/(RC)}=\frac{2\mathcal E}{3R}\cdot\frac{19}{40}=\frac{19\,\mathcal E}{60R}\qquad\Bigl(t_1=\tfrac{RC}{3}\ln\tfrac{40}{19}\approx0{,}25\,RC\Bigr).\] Если \(u_2=-\mathcal E/10\), то \(e^{-3t/(RC)}=\dfrac1{40}\), и \[I=\frac{2\mathcal E}{3R}\cdot\frac1{40}=\frac{\mathcal E}{60R}\qquad\Bigl(t_2=\tfrac{RC}{3}\ln40\approx1{,}23\,RC\Bigr).\] Обратите внимание: условие <<напряжение в 10 раз меньше ЭДС>> выполняется в двух моментах, потому что напряжение \(u_2\) успевает поменять знак; в обоих токи через два резистора равны.

Проверка. Энергия: в начале \(W_0=3\cdot\dfrac{C(\mathcal E/3)^2}{2}=\dfrac{C\mathcal E^2}{6}\); в конце (\(t\to\infty\), \(I=0\), \(u_1=u_3=\mathcal E/9\), \(u_2=-\mathcal E/9\)) \(W_\infty=3\cdot\dfrac{C(\mathcal E/9)^2}{2}=\dfrac{C\mathcal E^2}{54}\). Разность \(\dfrac{C\mathcal E^2}{6}-\dfrac{C\mathcal E^2}{54}=\dfrac{4C\mathcal E^2}{27}\) выделилась на двух одинаковых резисторах, по \(\dfrac{2C\mathcal E^2}{27}\) на каждом — совпало. Размерность: \([C\mathcal E^2]=\text{Дж}\); \([\mathcal E/R]=\text{А}\). Теплота от \(R\) не зависит: сопротивление определяет только скорость разряда, но не запас энергии.

Ответ: на каждом резисторе выделится \(Q_R=\dfrac{2C\mathcal E^2}{27}\); токи через оба резистора равны \(I=\dfrac{19\,\mathcal E}{60R}\) (при \(u_2=+\mathcal E/10\)) и \(I=\dfrac{\mathcal E}{60R}\) (при \(u_2=-\mathcal E/10\)).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.