Задачи › Переходные процессы в RC-цепях, ток через конденсатор

Конденсаторы и резисторы R и 2R

  1. Конденсаторы и резисторы R и 2R

    Росатом 2021/22, 11 кл.
    6/10

    Цепь, схема которой приведена на рисунке, состоит из двух конденсаторов ёмкости \(C\) и двух резисторов \(R\) и \(2R\). До замыкания ключа пластины одного конденсатора заряжены зарядами \(q\) и \(-q\), второй не заряжен. Ключ замыкают. Найти количества теплоты \(Q_R\) и \(Q_{2R}\), выделяющиеся на соответствующих резисторах за большой промежуток времени. Считать, что вся энергия выделяется на резисторах.

    Рисунок
    ▶Показать разборСкрыть разбор
    Подсказка

    Какой заряд окажется на каждом конденсаторе, когда ток прекратится? Какая энергия перейдёт в тепло? Резисторы соединены последовательно.

    Ответ

    \(Q_R = \dfrac{q^2}{12C}\);  \(Q_{2R} = \dfrac{q^2}{6C}\).

    Решение

    Поскольку конденсаторы одинаковы, после установления равновесия на каждом из них будет заряд \(q/2\). Поэтому в цепи выделится энергия, равная разности начальной и конечной энергии цепи.

    Начальная энергия цепи \(W_{\text{н}}\) равна энергии одного заряженного конденсатора: \[W_{\text{н}} = \frac{q^2}{2C}.\] Конечная энергия \(W_{\text{к}}\) равна энергии двух заряженных конденсаторов: \[W_{\text{к}} = 2\,\frac{(q/2)^2}{2C} = \frac{q^2}{4C}.\] Поэтому суммарное количество теплоты, выделившееся в резисторах, равно \[Q_R + Q_{2R} = \frac{q^2}{2C} - \frac{q^2}{4C} = \frac{q^2}{4C}.\] А поскольку в любой момент времени токи через резисторы одинаковы (они соединены последовательно), из закона Джоуля–Ленца заключаем, что в резисторе \(2R\) выделится вдвое большее количество теплоты. Отсюда находим \[Q_R = \frac{1}{3}\cdot\frac{q^2}{4C} = \frac{q^2}{12C}, \qquad Q_{2R} = \frac{2}{3}\cdot\frac{q^2}{4C} = \frac{q^2}{6C}.\]

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиОшибка в задаче?

Похожие задачи

наверх