Спуск по наклонной дырке

Выразите длину дырки через \(l\), \(\alpha\) и \(\beta\). Ускорение тела внутри дырки — проекция \(g\) на её направление. Какая тригонометрическая комбинация должна быть максимальной?

Найдём время спуска тела в дырке и исследуем его на минимум. Из геометрических соображений очевидно, что при наклоне дырки под углом \(\beta\) к вертикали длина дырки \(x\) равна \[x = \frac{l}{\cos(\alpha - \beta)}.\]

При этом, поскольку дырка наклонена под углом \(90^\circ - \beta\) к горизонту, ускорение тела в дырке \(a\) определяется соотношением \[a = g\sin(90^\circ - \beta) = g\cos\beta.\]

Поэтому время спуска тела в дырке \(t\) можно найти из закона равноускоренного движения \[x = \frac{at^2}{2} \quad\Rightarrow\quad t = \sqrt{\frac{2l}{g\cos(\alpha - \beta)\cos\beta}}.\] Используя известную тригонометрическую формулу, получим \[t = \sqrt{\frac{4l}{g\left[\cos\alpha + \cos(\alpha - 2\beta)\right]}}.\] Из этой формулы следует, что время спуска минимально при таком угле наклона дырки к вертикали \(\beta\), при котором максимален знаменатель, т.е. максимален \(\cos(\alpha - 2\beta)\). Поэтому \[\alpha = 2\beta, \qquad \beta = \frac{\alpha}{2}.\] Минимальное время спуска теперь легко найти, подставив это значение угла \(\beta\): \[t_{\min} = \sqrt{\frac{4l}{g\,(1 + \cos\alpha)}}.\]