Росатом, 2021/22, отборочный этап, 11 класс

Подсказка

Какие лягушки встретятся на пути? Сколько времени плывёт лягушка против течения и сколько — по течению? Сравните с интервалом между стартами.

Ответ

\(N = \left[\dfrac{8S}{15\,u\,\Delta t}\right]\) лягушек (квадратные скобки — целая часть числа).

Решение

Рассмотрим лягушку, которая стартовала из болота A в некоторый момент времени. Очевидно, она встретит на своём пути всех лягушек, плывущих из болота B в болото A, которые к этому моменту не успели доплыть до болота A, и всех тех, которые стартуют из болота B, пока она не успела туда приплыть.

Любая лягушка, плывущая из болота B, тратит на переход время \[t_1 = \frac{S}{v - u} = \frac{S}{3u},\] а лягушка, плывущая из A в B, тратит на переход время \[t_2 = \frac{S}{v + u} = \frac{S}{5u}.\] Поэтому рассматриваемая лягушка встретит всех лягушек, которые стартовали из B в A в течение интервала времени \[t_1 + t_2 = \frac{S}{3u} + \frac{S}{5u} = \frac{8S}{15u}.\] А поскольку лягушки стартуют через интервалы времени \(\Delta t\), за это время успеют стартовать \[N = \left[\frac{8S}{15\,u\,\Delta t}\right]\] лягушек (\([\dots]\) — целая часть числа). Именно столько лягушек встречает на своём пути любая лягушка, плывущая из A в B.

Подсказка

Какие две силы натяжения могут совпадать? Рассмотрите, какая нить охватывает блок, и какие силы действуют на тело \(m_2\) в равновесии.

Ответ

\(m_1/m_2 = 2\).

Решение

Очевидно, друг с другом могут совпадать только сила натяжения нити, которой тело \(m_1\) привязано к оси блока, и сила натяжения нити, которой тело \(m_2\) привязано к потолку (и которая не охватывает блок). Действительно, сила натяжения нити, охватывающей блок, в два раза больше силы натяжения нити, привязанной к его оси, и потому они не могут совпадать. Кроме того, в равновесии разность сил натяжения нитей, прикреплённых к телу \(m_2\), должна компенсировать силу тяжести этого тела; поэтому эти силы натяжения также не совпадают.

Пусть совпадающие силы натяжения равны \(T\) (см. рисунок). Тогда условия равновесия блока и двух тел дают \[T_1 = \frac{T}{2}, \qquad T = m_1 g, \qquad T = m_2 g + T_1.\]

Отсюда находим \[\frac{m_1}{m_2} = 2.\]

Подсказка

Что происходит с давлением в отсеке, закрытом поршнем, при его вытягивании? Какой объём этого отсека в момент вылета пробки? Затем запишите уравнение Клапейрона–Менделеева для всего сосуда.

Ответ

\(p_x = \dfrac{2p\,(p - \Delta p)}{2p - \Delta p}\).

Решение

При вытаскивании поршня давление в закрытом им отсеке будет уменьшаться. Объём \(V_1\) этого отсека в тот момент, когда вылетит пробка, можно найти по закону Бойля–Мариотта для газа в этом отсеке: \[pV = (p - \Delta p)\,V_1 \quad\Rightarrow\quad V_1 = \frac{pV}{p - \Delta p},\] где \(V\) — первоначальный объём отсеков. По закону Клапейрона–Менделеева для газа в любом из первоначальных отсеков имеем \[pV = \nu RT \quad\Rightarrow\quad \nu = \frac{pV}{RT},\] где \(\nu\) — количество вещества газа в отсеках (очевидно, одинаковое), \(R\) — универсальная газовая постоянная, \(T\) — абсолютная температура. Применяя закон Клапейрона–Менделеева ко всему сосуду (после вылета пробки), получим \[p_x\,(V + V_1) = 2\nu RT,\] где \(p_x\) — искомое давление. Подставляя сюда объём \(V_1\) и количество вещества газа, найдём \[p_x = \frac{2p\,(p - \Delta p)}{2p - \Delta p}.\]

Подсказка

Какой заряд окажется на каждом конденсаторе, когда ток прекратится? Какая энергия перейдёт в тепло? Резисторы соединены последовательно.

Ответ

\(Q_R = \dfrac{q^2}{12C}\);  \(Q_{2R} = \dfrac{q^2}{6C}\).

Решение

Поскольку конденсаторы одинаковы, после установления равновесия на каждом из них будет заряд \(q/2\). Поэтому в цепи выделится энергия, равная разности начальной и конечной энергии цепи.

Начальная энергия цепи \(W_{\text{н}}\) равна энергии одного заряженного конденсатора: \[W_{\text{н}} = \frac{q^2}{2C}.\] Конечная энергия \(W_{\text{к}}\) равна энергии двух заряженных конденсаторов: \[W_{\text{к}} = 2\,\frac{(q/2)^2}{2C} = \frac{q^2}{4C}.\] Поэтому суммарное количество теплоты, выделившееся в резисторах, равно \[Q_R + Q_{2R} = \frac{q^2}{2C} - \frac{q^2}{4C} = \frac{q^2}{4C}.\] А поскольку в любой момент времени токи через резисторы одинаковы (они соединены последовательно), из закона Джоуля–Ленца заключаем, что в резисторе \(2R\) выделится вдвое большее количество теплоты. Отсюда находим \[Q_R = \frac{1}{3}\cdot\frac{q^2}{4C} = \frac{q^2}{12C}, \qquad Q_{2R} = \frac{2}{3}\cdot\frac{q^2}{4C} = \frac{q^2}{6C}.\]

Подсказка

Выразите длину дырки через \(l\), \(\alpha\) и \(\beta\). Ускорение тела внутри дырки — проекция \(g\) на её направление. Какая тригонометрическая комбинация должна быть максимальной?

Ответ

\(\beta = \dfrac{\alpha}{2}\);  \(t_{\min} = \sqrt{\dfrac{4l}{g\,(1 + \cos\alpha)}}\).

Решение

Найдём время спуска тела в дырке и исследуем его на минимум. Из геометрических соображений очевидно, что при наклоне дырки под углом \(\beta\) к вертикали длина дырки \(x\) равна \[x = \frac{l}{\cos(\alpha - \beta)}.\]

При этом, поскольку дырка наклонена под углом \(90^\circ - \beta\) к горизонту, ускорение тела в дырке \(a\) определяется соотношением \[a = g\sin(90^\circ - \beta) = g\cos\beta.\]

Поэтому время спуска тела в дырке \(t\) можно найти из закона равноускоренного движения \[x = \frac{at^2}{2} \quad\Rightarrow\quad t = \sqrt{\frac{2l}{g\cos(\alpha - \beta)\cos\beta}}.\] Используя известную тригонометрическую формулу, получим \[t = \sqrt{\frac{4l}{g\left[\cos\alpha + \cos(\alpha - 2\beta)\right]}}.\] Из этой формулы следует, что время спуска минимально при таком угле наклона дырки к вертикали \(\beta\), при котором максимален знаменатель, т.е. максимален \(\cos(\alpha - 2\beta)\). Поэтому \[\alpha = 2\beta, \qquad \beta = \frac{\alpha}{2}.\] Минимальное время спуска теперь легко найти, подставив это значение угла \(\beta\): \[t_{\min} = \sqrt{\frac{4l}{g\,(1 + \cos\alpha)}}.\]