Сообщающиеся сосуды

Запишите условие гидростатического равновесия в сосудах с учётом поступающей жидкости. Закон Бойля–Мариотта для воздуха под поршнем даёт высоту столба воздуха, а сумма уровней над поршнем и в правом сосуде — высоту поверхности над поршнем.

1. Пусть через малое время \(\Delta t\) после начала поступления жидкости на поршень высота столба жидкости в правом сосуде возросла на \(\Delta h\). Из условия гидростатического равновесия в сосудах \[p_0 + \rho g(l + \Delta h) = p_0 + \rho g v\,\Delta t + \rho g(l - \Delta h).\] Отсюда скорость подъёма жидкости в правом сосуде в начале процесса \[v_{\text{п}} = \frac{\Delta h}{\Delta t} = \frac{v}{2}.\]

2. Пусть \(S\) — площадь поршня, \(t\) — время поступления жидкости в левый сосуд. По закону Бойля–Мариотта \(p_0 l S = \left(p_0 + \rho g v t\right) H S\) находим высоту столба воздуха под поршнем \[H = \frac{l}{1 + \dfrac{\rho g v t}{p_0}} = \frac{l}{1 + \dfrac{vt}{2l}}.\] Высота поверхности жидкости над поршнем \(z(t) = (l - h) + H + vt\), где \(h = vt/2\) — понижение уровня в левом сосуде под поршнем, поэтому \[z(t) = l + \frac{vt}{2} + \frac{l}{1 + \dfrac{vt}{2l}}. \qquad (1)\] При малых \(t\) высота \(z(t) \approx \left(l + \dfrac{vt}{2}\right) + \left(l - \dfrac{vt}{2}\right) = 2l\), то есть в начале процесса скорость изменения высоты поверхности жидкости близка к нулю.

3а) Из формулы (1) при \(t = 600\) с, \(vt = 12\) см, получаем \(z \approx 22{,}25\) см.

3б) Формальная подстановка даёт, что через \(t = 1100\) с уровень жидкости под поршнем опустился бы на \(h = vt/2 = 11\) см. Но это больше \(l\). Следовательно, к этому времени вся вода из-под поршня перетечёт в правую часть, воздух под поршнем «пробулькнет», и поршень опустится на дно. Тогда высота поверхности жидкости над поршнем равна \(z = vt = 22\) см.