Зарядка-разрядка

Выразите скорость изменения энергии конденсатора через силу тока \(I\) и заряд \(q\), затем запишите закон Ома и баланс мощностей батареи. Максимум мощности конденсатора достигается при \(I = \varepsilon/(2R)\).

Скорость изменения энергии конденсатора \[P = \frac{d}{dt}\left(\frac{q^2}{2C}\right) = \frac{q}{C}\frac{dq}{dt} = \frac{q}{C}\,I. \qquad (1)\] Здесь \(I\) — сила тока в цепи, \(q\) — заряд на конденсаторе. Закон Ома для цепи \[\varepsilon = IR + \frac{q}{C}. \qquad (2)\] Работа батареи идёт на зарядку конденсатора и на тепловые потери на резисторе: \[\varepsilon I = P + I^2 R. \qquad (3)\] Максимум мощности достигается при силе тока \(I = \varepsilon/(2R)\). Из уравнения (2) заряд на ёмкости при этом \(q = C\left(\varepsilon - \dfrac{\varepsilon}{2R}R\right) = \dfrac{C\varepsilon}{2}\), и из (1) максимальная скорость изменения энергии \[P_{\max} = \frac{\varepsilon^2}{4R}. \qquad (4)\] По условию в момент размыкания ключа \[P = \frac{3}{16}\,\frac{\varepsilon^2}{R}. \qquad (5)\] Подставляя это выражение в уравнение (3), получаем квадратное уравнение \[I^2 - \frac{\varepsilon}{R}I + \frac{3}{16}\left(\frac{\varepsilon}{R}\right)^2 = 0,\] решая которое, находим \[I = \frac{\varepsilon}{2R} \pm \frac{\varepsilon}{4R}, \qquad I_1 = \frac{\varepsilon}{4R}, \quad I_2 = \frac{3\varepsilon}{4R}.\] Из уравнения (2) найдём соответствующие заряды: \[q_1 = \frac{3C\varepsilon}{4}, \qquad q_2 = \frac{C\varepsilon}{4}.\] Джоулево тепло, выделившееся на резисторе, равно работе батареи минус энергия конденсатора: \(W = q\varepsilon - \dfrac{q^2}{2C}\). Соответственно, \[W_1 = \frac{24}{32}C\varepsilon^2 - \frac{9}{32}C\varepsilon^2 = \frac{15}{32}C\varepsilon^2, \qquad W_2 = \frac{8}{32}C\varepsilon^2 - \frac{1}{32}C\varepsilon^2 = \frac{7}{32}C\varepsilon^2.\] Таким образом, задача имеет два решения: \(W_1 = \dfrac{15}{32}C\varepsilon^2\) и \(W_2 = \dfrac{7}{32}C\varepsilon^2\).