Сообщающиеся сосуды, гидравлический пресс

После открытия крана уровни воды в коленах сравняются; общий объём воды сохраняется.

0{,}1

Сравните давления на уровне нижней границы масла в обоих коленах; уровень слева поднимется на столько же, на сколько опустится справа.

4{,}5

Сравните давления у дна двух сосудов. С поршнем уровни сравняются на высоте \(5H/4\) — проверьте, не опустится ли при этом граница жидкостей в левом сосуде до трубочки: от этого зависит ответ.

1) \(\rho_2 = \rho_1\left(1 - \dfrac{H}{2h}\right)\);  2) при \(h < H\): \(m = \rho_1\dfrac{H}{2}S\); при \(\dfrac{5H}{4} > h > H\): \(m = \rho_1\dfrac{H(2H - h)}{2h}S\).

Плотность \(\rho_2\) находим из условия равенства давлений жидкости у дна в левом и правом сосудах: \[\rho_2 g h + \rho_1 g\left(\frac32 H - h\right) = \rho_1 g H,\] \[\rho_2 = \rho_1\left(1 - \frac{H}{2h}\right).\] Уровни жидкости в двух половинках сосуда сравняются и станут равны \(\dfrac{5H}{4}\), т. е. в левом сосуде уровень опустится на \(\dfrac{H}{4}\), а в правом поднимется на \(\dfrac{H}{4}\). Следует также иметь в виду, что согласно условию \(h\) всегда больше \(\dfrac{H}{2}\) (\(h > \dfrac{H}{2}\)).

В зависимости от величины \(h\) в задаче возможны 2 случая.

1. \(h < H\), нижняя граница второй жидкости не опустится до уровня трубочки. В этом случае масса поршня находится из условия равенства давлений у дна сосуда: \[\frac{mg}{S} + \rho_2 g h + \rho_1 g\left(\frac{5H}{4} - h\right) = \rho_1 g\,\frac{5H}{4}.\] Откуда \[m = (\rho_1 - \rho_2)hS = \rho_1\frac{H}{2}S.\]

2. В случае \(\dfrac{5H}{4} > h > H\) нижний уровень жидкости с плотностью \(\rho_2\) в процессе опускания поршня дойдёт до трубочки, жидкость начнёт перетекать в правый сосуд и будет в нём всплывать вверх, так как \(\rho_2 < \rho_1\). Теперь, если считать от дна, жидкость с плотностью \(\rho_1\) в левом сосуде доходит до уровня \(\dfrac{H}{4}\), а столб жидкости с плотностью \(\rho_2\) имеет высоту \(H\). Из условия сохранения объёмов следует, что столб жидкости с \(\rho_1\) в правом сосуде теперь имеет высоту \(\left(\dfrac{9H}{4} - h\right)\), а высота столба жидкости с плотностью \(\rho_2\) равна \((h - H)\).

Отсюда получаем \[\frac{mg}{S} + \rho_2 g H + \rho_1 g\,\frac{H}{4} = \rho_1 g\left(\frac{9H}{4} - h\right) + \rho_2 g(h - H)\] или \[m = \rho_1(2H - h)S + \rho_2(h - 2H)S = \rho_1\frac{H(2H - h)}{2h}S.\]

Объём воды сохраняется. Свяжите скорость роста уровня в среднем сосуде со скоростями поршней и воспользуйтесь отношением \(h/l\) из графика.

\(V_1 = \dfrac{7}{6}V\) и \(V_2 = \dfrac{1}{6}V\).

Давление на дно после добавления жидкостей не зависит от того, как их распределить по сосудам. Разлейте керосин и масло поровну по трём сосудам.

\(\Delta h = \dfrac{\rho_\text{к} h_\text{к}+\rho_\text{м} h_\text{м}}{3\rho_\text{в}} = 13{,}8\text{ см}\).

Изменение давления на дно не зависит от того, каким образом мы будем разливать керосин и масло по сосудам. Распределим жидкости одинаково по трём сосудам. Тогда, очевидно, изменение давления на дно равно \[\Delta p = \rho_\text{к} g\,\frac{h_\text{к}}{3} + \rho_\text{м} g\,\frac{h_\text{м}}{3}.\] С другой стороны, \(\Delta p = \rho_\text{в} g\,\Delta h\), где \(\Delta h\) "— искомое изменение уровня воды в среднем сосуде. Окончательно получаем \[\Delta h = \frac{\rho_\text{к} h_\text{к}+\rho_\text{м} h_\text{м}}{3\rho_\text{в}} = 13{,}8\text{ см}.\]

Давление воды под льдом определяется уровнем воды в правом сосуде. Сравните вес льда с силой давления воды снизу.

1) 2,2 Н;  2) 0,4 Н.

Объём воды сохраняется, поэтому смещения поршней связаны через площади. Добавочное давление от груза уравновешивается изменением давления столба воды и силой пружины на правом поршне.

1) 4 см;  2) 4 кг.

Давление у поршня слева и справа определяется весом столбов жидкости. Как оно меняется со временем в каждом сосуде, если объём доливается с одинаковой скоростью, а плотности разные? Поршень движется так, чтобы давления с обеих сторон оставались равными.

1) к первому сосуду;  2) 5 см/с.

После каждого переливания уровни в сообщающихся сосудах выравниваются. Выразите объём воды, попавшей во второй сосуд, как функцию \(s\) и найдите её максимум.

\(s = 24\) см\(^2\).

Давление воды под обоими поршнями одинаково, а нить тянет широкий поршень вниз. Запишите условия равновесия каждого поршня и сохранение объёма воды при смещении поршней.

\(41\) см.

Подъём уровня в среднем сосуде определяется суммой скоростей опускания поршней. Сравните наклоны двух ветвей графика \(h(l)\) и найдите, с какими скоростями движутся поршни на каждом этапе.

\(\rho_{\text{см}_1} = \dfrac{2(7\rho_1+\rho_2)+(\rho_1+7\rho_2)}{3\cdot 8} = \dfrac{15\rho_1+9\rho_2}{24}\), если сначала быстрее движется левый поршень;  \(\rho_{\text{см}_2} = \dfrac{2(\rho_1+7\rho_2)+(7\rho_1+\rho_2)}{3\cdot 8} = \dfrac{9\rho_1+15\rho_2}{24}\), если сначала быстрее движется правый поршень.

Уровень в сосуде на столе определяется давлением у штуцера, то есть уровнем воды в сосуде внутри ящика (сообщающиеся сосуды). Как сделать так, чтобы этот внутренний уровень падал при доливании воды снаружи? Обратите внимание на пружину.

Схема одного из вариантов конструкции, которая могла бы содержаться в чёрном ящике, изображена на рисунке. При помощи ниток и крючков сосуд с водой подвешивается на пружине к потолку чёрного ящика. Гибкий шланг одним концом присоединяется к штуцеру. Другой конец шланга погружается в воду. Из обоих шлангов предварительно удаляется воздух.

Ток идёт по проволокам от их нижних концов до поршней, так что сопротивление цепи определяется суммой высот поршней. При смещении большого поршня на \(\Delta h\) малый смещается на \(3\Delta h\) в другую сторону. Запишите закон Ома для трёх положений поршней.

1) \(R_A = 1\) Ом;  2) \(I_0 = \dfrac{2I_1I_2}{I_1 + I_2} = 2{,}2\) А;  3) от \(I_\text{min} \approx 1{,}67\) А до \(I_\text{max} \approx 3{,}22\) А.

Перемещаясь, поршни задействуют разную длину проволок, соответственно, обеспечивают изменение сопротивления цепи. Это связано еще и с тем, что площади сосудов отличаются, иначе бы эффект не наблюдался. Дело в том, что при смещении большого поршня на \(\Delta h\) вниз, малый сместится на \(3\Delta h\) вверх, и наоборот, когда большой поршень смещается на \(\Delta h\) вверх, малый сместится на \(3\Delta h\) вниз.

Для удобства дальнейшей записи введем обозначение \(\alpha\) для сопротивления одного метра проволоки. Тогда можно записать законы Ома для указанных в условии задачи положений поршней. Когда на поршнях нет грузов: \[U = I_0(2\alpha h_0 + R_A),\] когда груз на малом поршне: \[U = I_1\left(2\alpha h_0 + R_A - \frac{\alpha m}{2\rho S}\right),\] когда груз на большом поршне: \[U = I_2\left(2\alpha h_0 + R_A + \frac{\alpha m}{2\rho S}\right).\] Взяв разность двух последних уравнений, получаем

\[U(I_2 - I_1) = I_1I_2\frac{\alpha m}{\rho S}.\] Откуда \[\alpha = \frac{U(I_2 - I_1)\rho S}{I_1I_2m} = 20\text{ Ом/м}.\] И, воспользовавшись первым законом Ома, получим ответ

\[R_A = \frac{U}{I_0 - 2\alpha H_0} = 1\text{ Ом}.\] Из законов Ома для положений системы с грузами можно получить \[U(I_1 + I_2) = 2I_1I_2(2\alpha h_0 + R_A).\] Учитывая закон Ома, когда нет поршней, получим

\[I_0 = \frac{2I_1I_2}{I_1 + I_2} = 2{,}2\text{ А}.\] Максимальный ток в цепи будет при минимальном сопротивлении, то есть, когда задействована минимальная длина проволок. Это произойдет в нижнем положении малого поршня: \[I_\text{max} = \frac{U}{\frac43\alpha h_0 + R_A} \approx 3{,}22\text{ А}.\] Минимальный ток напротив будет при максимальном сопротивлении, то есть, когда задействована наибольшая длина проволок. Это произойдет в верхнем положении малого поршня: \[I_\text{min} = \frac{U}{\frac83\alpha h_0 + R_A} \approx 1{,}67\text{ А}.\]

Пока жидкость в широком сосуде не дошла до крышки, она просто расширяется; потом её объём фиксирован, и при каждом малом нагреве в узкий сосуд уходит порция \(4SH\,\Delta\rho\) при текущей температуре. Давление на дно найдите по массе жидкости в узком сосуде, а тепло, принесённое порциями, — как площадь под графиком \(\rho(t)\).

1) \(p_\text{дно} = 2{,}75\rho_0 gH\);  2) \(p_\text{к} = 2{,}25\rho_0 gH\);  3) \(t_R \approx 1{,}36\,t_0\).

Зависимость плотности от температуры: \[\rho(t) = \rho_0 - \frac{\rho_0}{2}\cdot\frac{t - t_0}{t_0} = \rho_0\,\frac{3t_0 - t}{2t_0}. \tag{1}\] Начальная масса \(m_{L0}\) жидкости в левом сосуде: \[m_{L0} = 4Sh\rho_0 = 4SH\rho.\] Следовательно, сосуд большего сечения заполнится доверху, когда плотность в нём уменьшится до \(\rho = 0{,}95\rho_0\). Из (1) получаем: \[\rho = 0{,}95\rho_0 \;\Rightarrow\; 3t_0 - t_1 = 1{,}9t_0 \;\Rightarrow\; t_1 = 1{,}1t_0.\] После этого жидкость начинает перетекать из левого (широкого) сосуда в правый. При достижении температуры \(t = 2t_0\) масса \(m_L\) жидкости в левом сосуде равна: \[m_L = 4SH\cdot\frac{\rho_0}{2} = 2\rho_0 SH.\] Полная масса \(m\) жидкости изначально: \[m = (4S + S)h\rho_0 = 5S\cdot 0{,}95H\rho_0 = 4{,}75\rho_0 SH.\] Следовательно, масса \(m_R\) жидкости в правом сосуде после нагрева: \[m_R = m - m_L = 2{,}75\rho_0 SH.\] Тогда давление на дне: \[p_\text{дно} = \frac{m_R g}{S} = 2{,}75\rho_0 gH.\] Давление \(p_\text{к}\) жидкости на крышку в сосуде большего сечения найдём из равенства давлений: \[p_\text{к} = p_\text{дно} - 0{,}5\rho_0 gH = 2{,}25\rho_0 gH.\]

Поскольку объём левого сосуда фиксирован (при достижении высоты \(H\)), уменьшение массы в нём прямо пропорционально уменьшению плотности при нагреве. При нагреве левого сосуда на малую величину \(\Delta t\) плотность уменьшается на \(\Delta\rho\), и в правый сосуд перетекает масса: \[\Delta m = 4SH\,\Delta\rho, \tag{2}\] температура которой равна текущей температуре \(t\) в левом сосуде.

Способ 1. Можно считать, что нагреватель сообщил количество теплоты массе \(\Delta m\) уже после того, как она переместилась в правый сосуд. Тогда количество теплоты, поступающее в правый сосуд: \[\Delta Q = c\Delta m\,(t - t_0) = 4cSH(t - t_0)\Delta\rho,\] где \(c\) — теплоёмкость жидкости.

Если воспользоваться графиком зависимости \(\rho(t)\), то можно заметить, что величине \(\Delta Q\) пропорциональна площадь полоски шириной \(\Delta\rho\) и длиной \(t - t_0\) (см. рисунок 1), домноженной на \(4cSH\).

Полное количество «перенесённой» в правый сосуд теплоты \(Q\) пропорционально площади трапеции, показанной на рисунке 2, с домножением на \(4cSH\). Тогда: \[Q = 0{,}99\rho_0 t_0 cSH.\]

Эта теплота, распределённая по массе \(m_R = 2{,}75\rho_0 SH\), повысит температуру правого сосуда: \[t_R = t_0 + \frac{Q}{cm_R} = t_0 + \frac{0{,}99\rho_0 t_0 cSH}{c\cdot 2{,}75\rho_0 SH}.\]

Способ 2. Из (1) и (2) получим, что при повышении температуры левого сосуда от \(t_1 = 1{,}1t_0\) до \(t_2 = 2t_0\) масса, перетекающая в правый сосуд, увеличивается равномерно с температурой:

\[\Delta m = \frac{2SH}{t_0}\cdot\Delta t.\] Следовательно, распределение масс по температуре равномерное, и средняя температура приходящих порций жидкости равна среднему арифметическому концов интервала: \[t_\text{ср} = \frac{t_1 + t_2}{2} = \frac{1{,}1t_0 + 2t_0}{2} = 1{,}55t_0.\] Уравнение теплового баланса для правого сосуда: \[m_{R0}c(t_R - t_0) + \Delta mc(t_R - t_\text{ср}) = 0,\] где \(m_{R0}\) — начальная масса жидкости в правом сосуде. Отсюда: \[t_R = \frac{m_{R0}t_0 + \Delta m\,t_\text{ср}}{m_{R0} + \Delta m}.\]

Способ 3. Малая масса, перетекающая при возрастании температуры на \(\mathrm{d}t\): \[\mathrm{d}m = -4SH\,\mathrm{d}\rho.\] Из (1): \[\frac{\mathrm{d}\rho}{\mathrm{d}t} = -\frac{\rho_0}{2t_0} \quad\Rightarrow\quad \mathrm{d}m = \frac{2\rho_0 SH}{t_0}\,\mathrm{d}t.\] Количество теплоты, переносимое этой массой: \[\mathrm{d}Q = c(t - t_0)\,\mathrm{d}m = c(t - t_0)\frac{2\rho_0 SH}{t_0}\,\mathrm{d}t.\] Интегрируем от \(t_1 = 1{,}1t_0\) до \(2t_0\): \[Q = \frac{2\rho_0 SHc}{t_0}\int_{1{,}1t_0}^{2t_0}(t - t_0)\,\mathrm{d}t = \frac{2\rho_0 SHc}{t_0}\left[\frac{(t - t_0)^2}{2}\right]\Bigg|_{1{,}1t_0}^{2t_0}.\] Подставляем пределы: \[Q = \frac{2\rho_0 SHc}{t_0}\cdot\frac{t_0^2 - 0{,}01t_0^2}{2} = 0{,}99\rho_0 ct_0 SH.\] Далее, как и в первом способе: \[t_R = t_0 + \frac{Q}{cm_R}.\] Окончательно: \[t_R = 1{,}36t_0.\]

Глубина погружения тела зависит от отношения плотностей и высоты тела. Уровни воды в обоих сосудах одинаковы, поэтому сравните высоты верхних граней над общим уровнем. Для второго пункта используйте сохранение объёма воды и вытесненный объём.

1) \(3{,}2\) см;  2) \(8{,}2\) см.