Груз на палке над тремя поршнями

Пока груза нет, каждый поршень плавает на воде. Груз добавляет к каждому поршню силу со стороны воды: как она зависит от площади поршня, если давление под всеми поршнями меняется одинаково?

На расстоянии \(x=a\,\dfrac{d_1^2-d_3^2}{d_1^2+d_2^2+d_3^2}\) от середины палки в сторону первого (левого на рисунке) цилиндра; при \(d_1<d_3\) — в сторону третьего.

Что происходит. Вода несжимаема и поршни не смещаются, поэтому давление воды под поршнями может измениться, и во всех трёх цилиндрах на одну и ту же величину: сосуды сообщаются, поршни на одном уровне. Эта добавка давления — реакция связи; она создаёт на каждом поршне дополнительную силу, пропорциональную площади поршня, а вес груза уравновешивается суммой трёх таких сил.

Обозначения. \(M\) — масса груза, \(S_i=\pi d_i^2/4\) — площадь \(i\)-го поршня (\(i=1,2,3\)), \(x\) — расстояние от середины палки до груза, ось \(x\) направлена к первому поршню.

1. Силы на поршни без груза и с грузом. На \(i\)-й поршень действуют вес \(G_i=\rho_{\text{п}}ghS_i\) (толщина \(h\) и материал у поршней одинаковы, значит, вес пропорционален \(S_i\)), сила атмосферного давления \(p_0S_i\) сверху и сила давления воды \(pS_i\) снизу. Результирующая сила на поршень, направленная вверх, равна \(S_i\,(p-p_0-\rho_{\text{п}}gh)=qS_i\), где \(q\) — одна и та же величина для всех поршней. Без груза поршни плавают, \(q=0\). С грузом давление \(p\) меняется, меняется \(q\) — на одно и то же для всех поршней число. Значит, сила \(F_i=qS_i=\alpha d_i^2\), \(\alpha\) — общий коэффициент.

2. Условия равновесия палки с поршнями (стержни и палка лёгкие, их весом пренебрегаем). Сумма сил равна нулю: \[\alpha d_1^2+\alpha d_2^2+\alpha d_3^2-Mg=0 .\] Сумма моментов относительно середины палки равна нулю (момент \(F_1\) вращает по часовой стрелке, \(F_3\) и \(Mg\) — против): \[\alpha d_1^2\,a-\alpha d_3^2\,a-Mg\,x=0 .\] Сила \(F_2\) приложена в середине палки, её момент равен нулю.

3. Положение груза. Из первого уравнения \(\alpha=\dfrac{Mg}{d_1^2+d_2^2+d_3^2}\). Подставим во второе: \[x=\frac{\alpha a\,(d_1^2-d_3^2)}{Mg}=a\,\frac{d_1^2-d_3^2}{d_1^2+d_2^2+d_3^2}.\]

Обратите внимание: силы \(F_i\) направлены вверх и пропорциональны площади, а не диаметру — отсюда \(d_i^2\). На рисунке для наглядности взяты \(d_1:d_2:d_3=1{,}3:1{,}6:0{,}9\), тогда \(x\approx0{,}17\,a\).

Ответ. Груз нужно подвесить на расстоянии \(x=a\,\dfrac{d_1^2-d_3^2}{d_1^2+d_2^2+d_3^2}\) от середины палки в сторону первого цилиндра; при \(d_1<d_3\) значение \(x\) отрицательно — груз надо ставить по другую сторону от середины, ближе к третьему.

Проверка. Предел: при \(d_1=d_3\) получаем \(x=0\) — груз на середине, как и должно быть по симметрии. При \(d_3\to0\) и \(d_2\to0\) остаётся один поршень: \(x\to a\), груз над ним. Размерность: \(x\) — длина, дробь безразмерна. Второй способ: момент относительно первого поршня: \(F_2a+F_3\cdot2a=Mg\,(a-x)\) даёт тот же \(x\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.