Перегоревшая лампочка гирлянды

Лампочки гирлянды соединены последовательно. Что в такой цепи не зависит от того, какую лампочку вы поставили на место перегоревшей, и от чего зависит, перегорит лампочка или нет?

Ток в гирлянде почти равен номинальному току \(I_0=P/(12\text{ В})\) лампочек гирлянды (\(P\) — их мощность). Лампочка на 12 В меньшей мощности рассчитана на ток меньше \(I_0\) и перегорает. Лампочка на 6,3 В цела, если рассчитана на мощность не меньше \(\approx0{,}53\,P\), то есть примерно на половину мощности лампочек гирлянды.

Что происходит. Лампочки соединены последовательно, поэтому ток один на всю цепь, и задаёт его в основном остальные \(N-1\) лампочек, а не новая. Лампочка перегорает, когда через неё идёт ток больше того, на который она рассчитана.

Обозначения. \(N\) — число лампочек в гирлянде, \(R\) и \(P\) — сопротивление и мощность каждой при накале на 12 В, \(R_x\) — сопротивление новой лампочки, \(P_x\) и \(U_x\) — её номинальные мощность и напряжение. Гирлянда рассчитана на сеть, в которой на каждую лампочку приходится 12 В, поэтому напряжение сети \(U=12N\) В.

1. Ток в цепи. Номинальный ток лампочки гирлянды \(I_0=\dfrac{12\text{ В}}{R}=\dfrac{P}{12\text{ В}}\). Запишем закон Ома для всей цепи после замены (сопротивления складываются при последовательном соединении): \[I=\frac{12N}{(N-1)R+R_x}=I_0\,\frac{NR}{NR+(R_x-R)}=\frac{I_0}{1+\dfrac{R_x-R}{NR}}.\] Лампочек много, а \(R_x\) одного порядка с \(R\), поэтому поправка \(\dfrac{R_x-R}{NR}\) мала и \(I\approx I_0\): какую бы лампочку ни поставили, ток в цепи остаётся почти номинальным.

2. Условие целости. Мощность на новой лампочке \(I^2R_x\), а \(R_x=U_x^2/P_x\). Лампочка цела, пока \(I^2U_x^2/P_x\le P_x\), то есть пока \(I\le I_x\), где \(I_x=P_x/U_x\) — номинальный ток лампочки. Перегорает она из-за тока, а не из-за напряжения на ней.

3. Лампочка на 12 В. Её номинальный ток \(I_x=P_x/(12\text{ В})\). Он меньше \(I_0\) при \(P_x<P\): ученик взял лампочку на 12 В меньшей мощности, чем в гирлянде, и ток \(I_0\) для неё слишком велик.

4. Лампочка на 6,3 В. Её номинальный ток \(I_x=P_x/(6{,}3\text{ В})\) при той же мощности почти вдвое больше. Условие \(I_x\ge I_0\) даёт \[\frac{P_x}{6{,}3\text{ В}}\ge\frac{P}{12\text{ В}}\quad\Rightarrow\quad P_x\ge\frac{6{,}3}{12}\,P\approx0{,}53\,P.\] Такая лампочка выдерживает ток гирлянды, если её мощность не меньше половины мощности лампочек гирлянды.

Обратите внимание: ток в цепи нельзя «подправить» заменой одной лампочки из многих; поэтому сравнивать надо номинальные токи (\(P_x/U_x\)), а не напряжения и не мощности по отдельности.

Ответ. Ток в гирлянде почти равен \(I_0=P/12\text{ В}\). Лампочка на 12 В перегорает, если её мощность меньше \(P\) (рассчитана на меньший ток), лампочка на 6,3 В цела при \(P_x\gtrsim P/2\) (рассчитана на ток не меньше \(I_0\)).

Проверка. Размерность: \(P/U\) — ампер. Предел: при \(N\to\infty\) поправка исчезает и \(I=I_0\) точно. Пример при \(N=20\): лампочка на 12 В с \(P_x=P/2\) имеет \(R_x=2R\), \(I=I_0\cdot\dfrac{20}{21}\approx0{,}95\,I_0\), а её номинальный ток \(0{,}5\,I_0\) — она перегорит; лампочка на 6,3 В с \(P_x=0{,}6P\) рассчитана на \(I_x=0{,}6P/6{,}3\approx0{,}095\,P/\text{В}>I_0=0{,}083\,P/\text{В}\) — цела.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.