Рассеивающая линза и увеличение изображения

Для линзы изображение, которое даёт система, — мнимый предмет: лучи идут к нему. Куда уходит луч, который после рассеивающей линзы идёт параллельно главной оптической оси, и что это говорит о его пути до линзы?

Можно. Линзу нужно поставить на расстоянии \(2/3\) м от места прежнего изображения (со стороны системы); новое изображение окажется на расстоянии \(2\) м за линзой, то есть на \(4/3\) м дальше прежнего.

Что происходит. Система даёт сходящийся пучок, который собрался бы в точке — изображении \(AB\). Рассеивающая линза, поставленная в этот пучок, делает его менее сходящимся: лучи сойдутся дальше, а изображение получится крупнее. Для линзы \(AB\) — мнимый предмет: лучи идут к нему, но не доходят.

Обозначения. \(O\) — центр линзы, \(F\) — её дальний (по ходу света) фокус, \(f=1\) м, \(a=OA\) — расстояние от линзы до прежнего изображения \(AB\), \(b=OA'\) — до нового изображения \(A'B'\), \(\Gamma=A'B'/AB=3\).

1. Два луча для построения. Первый — луч, идущий к точке \(B\) через центр линзы \(O\): тонкая линза его не преломляет. Второй — луч, идущий к дальнему фокусу \(F\): рассеивающая линза выпрямляет его в луч, параллельный главной оптической оси. Оба луча идут к точке \(B\) до линзы (прямая через \(B\) и \(O\), и прямая через \(B\) и \(F\) — обе достроены пунктиром).

2. Построение. Проведём ось и линзу, отметим \(F\) на расстоянии \(f=1\) м. Новое изображение втрое выше прежнего, поэтому на линзе второй луч должен выйти на высоте \(3\,AB\): проведём через эту точку линзы прямую к \(F\) — она пересечёт вертикаль \(A\) на высоте \(AB\) (это условие определяет положение \(A\)): \(AB=3AB\,(1-a/f)\). Луч, идущий через \(O\) и \(B\), пересечёт горизонталь, выходящую из линзы, в точке \(B'\).

3. Расчёт. Из подобия треугольников на втором луче: \(\dfrac{AB}{3AB}=\dfrac{f-a}{f}\), откуда \(a=\dfrac{2}{3}f=\dfrac23\text{ м}\). Из подобия на первом луче (через центр) \(b=3a=2\text{ м}\).

Проверим по формуле линзы для мнимого предмета: \(\dfrac1b=\dfrac1a-\dfrac1f=\dfrac32-1=\dfrac12\text{ м}^{-1}\), \(b=2\) м; \(\Gamma=b/a=3\).

Обратите внимание: линзу ставят до изображения (\(a<f\)): при \(a>f\) расходящийся эффект сильнее сходимости пучка, лучи не сойдутся и изображение будет мнимым.

Ответ. Да, можно: расстояние от линзы до прежнего изображения \(a=2f/3=\frac23\) м (линза со стороны системы), новое изображение — на \(b=2\) м за линзой, на \(\frac43\) м дальше прежнего.

Проверка. Предел: при \(a\to0\) линза у самого изображения не меняет его, \(\Gamma\to1\); при \(a\to f\) имеем \(b\to\infty\) и \(\Gamma\to\infty\) — пучок почти параллелен. Связь \(\Gamma=\dfrac{1}{1-a/f}\) растёт монотонно, значение \(3\) достигается ровно один раз.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.