Ход лучей в линзах, построения

Где окажется изображение источника, стоящего на двойном фокусе? Если источник и изображение на одинаковом расстоянии от линзы, ход луча симметричен относительно её плоскости — отразите одну из точек.

Отражаем точку \(B\) относительно плоскости линзы в точку \(B'\); прямая \(AB'\) пересекает главную оптическую ось в точке \(X\) — на двойном фокусе. Середина отрезка \(OX\) — первый фокус, второй фокус симметричен ему относительно плоскости линзы.

Из рисунка видно, что линза собирающая, тогда по формуле тонкой линзы \[\frac1F = \frac1{2F} + \frac1r,\] где \(r\) — расстояние от изображения источника, которое находится тоже на главной оптической оси, до линзы.

Находим \(r = \left(\dfrac1F - \dfrac1{2F}\right)^{-1} = 2F > 0\). Т. е. изображение находится на другой стороне от линзы на расстоянии \(2F\) от неё — на том же расстоянии, что и источник.

Если \(X\) — источник, то \(Y\) — изображение источника. Если \(Y\) — источник, то \(X\) — его изображение.

\(OX = OY \Rightarrow \triangle XYZ\) равнобедренный \(\Rightarrow\) точка \(B'\), симметричная \(B\) относительно плоскости линзы, лежит на другой стороне \(\triangle XYZ\) — стороне \(XZ\).

Следовательно, следующий ряд построений отвечает на вопросы задачи:

1. Отражаем точку \(B\) относительно плоскости линзы и получаем точку \(B'\) (альтернативно можно так же поступить и с точкой \(A\)).

2. Проводим прямую \(AB'\). Она пересекает главную оптическую ось в точке \(X\). Получаем положение источника (или изображения) \(X\) на двойном фокусе.

3. Середина отрезка \(OX\) — первый фокус линзы.

4. Отражаем в плоскости линзы фокус, построенный в пункте 3, и получаем второй фокус.

Линза может быть и собирающей, и рассеивающей — разберите оба случая. Для рассеивающей: фокус, оптический центр и точка преломления образуют прямоугольный треугольник; куда пойдёт луч, прошедший через фокус рассеивающей линзы?

Собирающая линза: главная оптическая ось проходит через \(F\) параллельно преломлённому лучу, плоскость линзы — перпендикуляр к ней через точку преломления. Рассеивающая линза: два решения — оптический центр (\(O_1\) или \(O_2\)) — пересечение окружности с диаметром «фокус — точка преломления» с прямой, параллельной продолжению преломлённого луча и вдвое дальше от \(F\), чем это продолжение; плоскость линзы проходит через точку преломления и найденный центр. Построения — на рисунках решения.

Возможны два случая — линза собирающая и линза рассеивающая. Рассмотрим каждый из случаев отдельно.

Собирающая линза. Луч, прошедший через фокус собирающей линзы, после преломления в ней идёт параллельно главной оптической оси. Таким образом, из рисунка нам известно направление главной оптической оси (далее — ГОО) и одна из её точек (\(F\)). По этим данным восстанавливаем положение ГОО. Для этого проводим через \(F\) прямую, параллельную лучу после преломления. Плоскость линзы перпендикулярна ГОО и нам известна одна из её точек — точка, где преломляется луч. Положение плоскости линзы восстанавливаем проведением перпендикуляра к ГОО из точки преломления луча.

Рассеивающая линза. Фокус линзы \(F\), её оптический центр \(O\) и точка преломления луча образуют прямоугольный треугольник. Построим на отрезке (как на диаметре), соединяющем фокус и точку преломления луча, окружность. Оптический центр должен лежать на этой окружности. Из формулы тонкой линзы (или используя тот факт, что параллельный пучок лучей после преломления на рассеивающей линзе идёт так, что продолжения пересекаются в одной точке фокальной плоскости) можно показать, что луч, прошедший через фокус рассеивающей линзы, после преломления идёт так, как будто прошёл через половинный фокус. Продлим луч, который преломился в линзе — он должен делить пополам отрезок \(OF\). Построим вспомогательный луч, параллельный продолжению преломлённого луча и находящийся в два раза дальше от точки \(F\). Он пройдёт через оптический центр линзы, не отклоняясь от своего первоначального направления. Таким образом, оптический центр линзы может находится в точках пересечения вспомогательного луча с окружностью. В нашем случае таких пересечений два (точки \(O_1\) и \(O_2\)). Значит, возможны два варианта расположения рассеивающей линзы. В каждом варианте плоскость линзы проходит через точку преломления исходного луча и соответствующий оптический центр.

Отметим, что в случае рассеивающей линзы для двух полученных решений известный нам луч идет под разными углами к ГОО линзы, которые по построению связаны между собой. Если обозначить за \(\beta_1\) угол между лучом и \(FO_1\) и за \(\beta_2\) — угол между лучом и \(FO_2\), то можно показать, что \(\operatorname{tg}\beta_1\cdot\operatorname{tg}\beta_2 = 1/2\). Следовательно, только один из этих лучей может являться параксиальным — ведь если один из этих углов мал (\(\operatorname{tg}\beta_1 \ll 1\)), то другой должен иметь достаточно большое значение тангенса. Может быть и так, что оба угла не являются малыми. Поэтому только свойство линзы, указанное в «Примечании» условия, позволяет нам считать, что оба решения корректны.

Изображения радиусов, проведённых из центра в крайние точки полуокружности, одинаковы по размеру, значит, диаметр, стягивающий полуокружность, перпендикулярен главной оптической оси. Прямая через изображения концов радиуса, перпендикулярного оси, проходит через фокус.

\(f = 20\), \(R = 6\) (в клетках); оптический центр \(O\) — на рисунке решения (на главной оптической оси, на расстоянии \(20\) от фокуса \(F\)).

Существует несколько вариантов решения. Покажем один из них.

Поскольку изображения радиусов, проведённых из центра в крайние точки полуокружности, имеют одинаковый размер, диаметр, закрывающий полуокружность, перпендикулярен главной оптической оси.

При этом главная оптическая ось касается изображения в одной из крайних точек и совпадает с одной из линий сетки. Далее по рисунку определяем размер изображения радиуса, закрывающего полуокружность, получается \(A_1B_1 = 12\). Далее определяем расстояние от дальней точки изображения до главной оптической оси \(A_2B_2 = 30\) и расстояние между ближней и дальней точками изображения \(B_2B_1 = 60\). Прямая \(A_1A_2\) должна проходить через фокус. Из подобия треугольников получаем \(B_1F = 40\).

Обозначим \(R\) — радиус исходной окружности, \(a_1\) — расстояние от диаметра, закрывающего полуокружность, до линзы, \(f\) — фокусное расстояние. Тогда справедливы соотношения \[\frac{R}{a_1} = \frac{12}{f + 40} \quad\Rightarrow\quad a_1 = \frac{f + 40}{12}\cdot R .\] Аналогично для расстояния \(a_2\) от ближней (к линзе) точки полуокружности до линзы имеем формулу \[a_2 = \frac{f + 100}{30}\cdot R .\] Далее записываем для точки изображения \(A_1\) формулу линзы. Имеем уравнение \[\frac1f = \frac{1}{f + 40} + \frac{1}{a_1}.\] Подставляя в это уравнение выражение для \(a_1\), получаем после преобразований соотношение \[R = 0{,}3f .\] Учитывая, что \(a_1 = a_2 + R\), из выражений для \(a_1\) и \(a_2\) имеем уравнение \[\frac{f + 100}{30} + 1 = \frac{f + 40}{12}.\] Решая это уравнение и подставляя найденное значение \(f = 20\) в соотношение \(R = 0{,}3f\), получаем \(R = 6\).

Луч преломляется только на линзе — точки излома лежат в плоскостях линз. Луч, который нигде не преломился, прошёл через оптические центры. Параллельные лучи после линзы пересекаются (сами или продолжениями) в её фокальной плоскости.

Плоскости линз — прямые через точку \(L\) и точки излома верхнего луча; оптические центры — точки пересечения этих прямых с непреломлённым нижним лучом; левая линза собирающая, правая — рассеивающая; фокусы — построение в решении.

Проведём две прямые, проходящие через точку \(L\) и точки преломления верхнего луча. Таким образом восстановим положения линз.

Поскольку нижний луч не преломляется, он должен проходить через оптические центры обеих линз (\(O_1\) и \(O_2\) на рисунке), следовательно, левая линза является собирающей, а правая — рассеивающей.

Параллельные лучи после прохождения через собирающую линзу сходятся в фокальной плоскости (точка \(A\)). Проведём прямую, параллельную левой линзе и проходящую через точку \(A\), затем опустим из оптического центра \(O_1\) собирающей линзы перпендикуляр на фокальную плоскость. Таким образом можем найти положение заднего фокуса \(F_1\) левой линзы; для нахождения переднего фокуса \(F_1\) отложим такое же расстояние от оптического центра \(O_1\).

Для нахождения фокусов рассеивающей линзы выполним дополнительные построения — проведём через оптический центр линзы \(O_2\) прямую, параллельную падающему лучу. Точка пересечения этой прямой и продолжения преломлённого луча принадлежит фокальной плоскости рассеивающей линзы (точка \(B\)). Проведём прямую, параллельную правой линзе и проходящую через точку \(B\), затем опустим из оптического центра \(O_2\) рассеивающей линзы перпендикуляр на фокальную плоскость. Таким образом можем найти положение переднего фокуса \(F_2\) правой линзы; для нахождения заднего фокуса \(F_2\) отложим такое же расстояние от оптического центра \(O_2\).

Рассеивающая линза не может дать изображение в плоскости двойного фокуса, значит линза собирающая; разберите два случая — действительное и мнимое изображение \(B'\) (для мнимого найдите из формулы линзы, где тогда стоит \(B\)). Луч, идущий вдоль \(AB\), после линзы идёт по прямой \(\alpha\) — их пересечение лежит на линзе.

Линза собирающая, возможны два случая. 1) Если \(B'\) действительное, оптический центр \(O\) — середина \(BB'\); если мнимое, \(O\) лежит на продолжении \(B'B\) за точку \(B\) на расстоянии \(BB'/2\) от \(B\). 2) Линза проходит через \(O\) и точку \(L\) пересечения прямой \(AB\) с прямой \(\alpha\); главная оптическая ось — перпендикуляр к линзе в точке \(O\). 3) Фокус — середина отрезка между \(O\) и точкой пересечения оси с плоскостью двойного фокуса (через \(B'\) перпендикулярно оси), второй фокус симметричен ему относительно \(O\). 4) \(A'\) — пересечение прямой \(AO\) с прямой \(\alpha\). Построения — на рисунках решения.

В условии задачи не указан тип линзы, поэтому необходимо понять, какая линза может быть. Изображение действительного объекта в рассеивающей линзе всегда лежит между фокальной плоскостью и плоскостью линзы. Так как \(B'\) лежит в плоскости двойного фокуса, то линза не может быть рассеивающей, поэтому делаем вывод, что линза собирающая. Изображение \(B'\) может быть действительным или мнимым.

Рассмотрим сначала случай, когда изображение \(B'\) действительное. Если изображение действительное, то точки \(B\) и \(B'\) лежат в плоскостях двойного фокуса и оптический центр лежит на середине отрезка \(BB'\).

Рассмотрим теперь случай, когда изображение \(B'\) мнимое. В этом случае \(B\) лежит между фокальной плоскостью и плоскостью линзы. Запишем формулу тонкой линзы для этого случая: \[\frac{1}{a} + \frac{1}{-2F} = \frac{1}{F},\] откуда находим, что \(a = 2F/3\), а расстояние между предметом и его изображением \(\Delta = 2F - a = 4F/3\) в два раза больше расстояния между предметом и линзой \(a\).

Для построения оптического центра линзы в первом случае делим отрезок \(BB'\) пополам, на середине этого отрезка и будет оптический центр \(O\). Во втором случае делим отрезок \(BB'\) пополам, продолжаем прямую проходящую через это отрезок за точку \(B\) и откладываем еще половину отрезка \(BB'\) — найденная точка будет оптическим центром \(O\).

Для восстановления положения линзы найдем вторую точку линзы, для этого заметим, что луч \(AB\) после преломления в линзе пойдёт вдоль прямой \(\alpha\), так как изображение точки \(A'\) также лежит на этой прямой. Продолжим прямую, проходящую через отрезок \(AB\), до пересечения с прямой \(\alpha\), найденная точка пересечения \(L\) будет принадлежать плоскости линзы. Рисуем линзу в виде отрезка, содержащего точки \(L\) и \(O\). Для восстановления главной оптической оси (далее — ГОО) построим перпендикуляр к линзе в точке \(O\).

Чтобы найти фокус, можно пойти двумя путями.

а) Пустим из т. \(B\) луч, идущий параллельно ГОО, который после преломления в линзе пройдет через т. \(B'\) и пересечёт ГОО в точке фокуса;

б) Вспомним, что т. \(B'\) лежит в двойной фокальной плоскости. Проведём эту плоскость, определим по её пересечению с ГОО точку двойного фокуса, разделим получившийся отрезок пополам и получим точку фокуса \(F\). На рисунке представлены построения, соответствующие второму способу решения.

Чтобы построить точку \(A'\) можно пойти двумя путями:

а) Пустим из т. \(A\) луч, параллельный ГОО. После преломления в линзе этот луч пройдет через фокус и пересечется с прямой \(\alpha\) в т. \(A'\).

б) Пустим из т. \(A\) луч, проходящий через оптический центр \(O\). Луч (в первом случае) или его продолжение (во втором случае) пересечется с прямой \(\alpha\) как раз в т. \(A'\).

Для оси, повёрнутой на угол \(\varphi\), формула линзы сохраняет вид, но расстояния пересчитываются с множителем \(\cos\varphi\). Как связаны между собой положения фокуса для разных осей, проходящих через \(O\)?

Удобно взять луч, идущий через центр первой линзы, и луч, параллельный главной оптической оси. Дальше используйте то, что точка \(F\) — фокус обеих линз.

Постройте изображение в первой линзе, затем считайте его источником для второй. Помните, что у рассеивающей линзы фокус мнимый, а продолжения преломлённых лучей сходятся в нём.

Параллельные лучи собираются в точке на полу, значит, фокусное расстояние линзы из воды равно расстоянию от зонта до пола. Потолок — предмет на расстоянии длины ручки от линзы; найдите его мнимое изображение.

Наблюдателю на полу покажется, что потолок имеет высоту 4 м.

Обозначим \(L = 1\) м. Как вытекает из условия задачи, купол зонта можно рассматривать как собирающую линзу с фокусным расстоянием \(2L\), которое равно расстоянию от зонта до пола.

Пусть мнимое изображение \(\Pi_1\) потолка \(\Pi\) в этой линзе находится на расстоянии \(x\) от неё:

Согласно формуле тонкой линзы получим \[\frac1L - \frac1x = \frac1{2L}\] и \(x = 2L\). Таким образом, наблюдателю на полу потолок кажется расположенным на расстоянии \(2L + 2L = 4L\) от пола.

Каждое отражение от образующей конуса поворачивает луч на угол \(2\alpha_0\), где \(\alpha_0 = (D - d)/2h\) — угол наклона образующей к оси. Посчитайте, какие лучи отражаются один раз, какие — два, и под какими углами они выходят. Линза собирает параллельные пучки в точки фокальной плоскости.

1) центральное пятно диаметром \(d\) и два концентрических кольца: первое — радиус средней линии \(R_1 = 3dL/h\), толщина \(d\); второе — внешний радиус \(R_2 = 6dL/h\), толщина \(d/2\);  2) два тонких кольца (толщина много меньше \(d\)) радиусами \(R_1' = 3dL/(2h)\) и \(R_2' = 3dL/h\) и точка в центре (пятно много меньше \(d\)).

1. Рассмотрим пучок лучей, падающих на правое (по рисунку) основание конуса диаметром \(D\). Часть лучей, идущих в пределах круга диаметром \(d\) с центром на оси конуса, проходит без препятствий и образует на экране круглое пятно того же диаметра \(d_0 = d\).

Остальные лучи, прошедшие через входное сечение конуса, испытывают не менее одного отражения от боковой поверхности конуса. Поскольку оптическая схема имеет осевую симметрию, то эти лучи будут образовывать кольца, с центром в точке пересечения экрана осью конуса. Выясним количество и геометрию колец (радиусы и ширину колец, а также возможность их перекрытия друг с другом).

В дальнейшем будем рассматривать лучи, падающие на одну из образующих конической поверхности. Пусть \(\alpha_0\) — угол между направлением исходного пучка света и конической поверхностью отверстия. Из геометрии \(\alpha_0 = (D - d)/2h = 3d/2h\). Заметим, что из условия следует \(\alpha_0 \ll 1\).

Рассмотрим луч 1 исходного пучка, падающий на самый край выходного сечения конуса и не отражавшийся до этого. После одного отражения он выйдет из отверстия под углом \(2\alpha_0\) к начальному направлению.

Теперь рассмотрим луч 2, падающий на коническую поверхность максимально далеко от выходного отверстия и испытывающий ровно одно отражение до выхода из пластины. Найдем расстояние \(x_1\) от места падения луча до левой поверхности пластины. Так как \(\alpha_0 \ll 1\), то с хорошей точностью можем считать равным \(\pi/2\) угол между конической поверхностью отверстия и поверхностью пластины. В таком случае \(x_1 \approx d/\mathrm{tg}\,\alpha_0 = 2h/3\).

Эти лучи (с учетом симметрии) образуют на экране кольцо, толщина которого \(d_1 = d\). Радиус средней линии кольца \(R_1\) найдем рассмотрев ход луча, испытавшего одно отражение и вышедшего из центра выходного отверстия. Так как луч выходит под углом \(\alpha_1 = 2\alpha_0\) к оси конуса, то \(R_1 = L\,\mathrm{tg}\,\alpha_1 = 3dL/h\). Заметим, что \(R_1 \gg d\) (толщины первого кольца и диаметра центрального пятна), что означает отсутствие пересечения первого кольца с центральным пятном.

Рассмотрим лучи, отразившиеся от конической поверхности отверстия дважды. Они выйдут из пластины под углом \(\alpha_2 = 4\alpha_0\) и образуют на экране еще одно кольцо. Найдем расстояние \(x_2\) между точками первого отражения предельных лучей из этой группы. Так как \(\alpha_0 \ll 1\), то с хорошей точностью \(x_2 = x_1 = 2h/3\). Как мы видим толщины пластины не достаточно для того, чтобы лучи, испытавшие два отражения, выходили в заданном направлении со всей площади выходного отверстия. Из хода предельных лучей 3 и 4 видно, что толщина второго кольца \(d_2 = d/2\), а радиус внешней части второго кольца равен \(R_2 = L\,\mathrm{tg}\,\alpha_2 = 6dL/h\).

2. Все вышедшие из отверстия пучки параллельных лучей соберутся в фокальной плоскости. Определить место их сбора можно следующим образом: так как \(h \ll L\) и \(d \ll h\), то можно считать, что все лучи выходят практически из одной точки, совпадающей с фокусом линзы, значит после преломления они будут идти параллельно главной оптической оси. Из рисунка видно, что в таком случае радиусы колец уменьшатся в два раза. \(R_1' = R_1/2 = 3dL/(2h)\), \(R_2' = R_2/2 = 3dL/h\).

Определим как изменятся их толщины и диаметр центрального пятна.

Центральное пятно образуется параллельным пучком лучей, идущим вдоль главной оптической оси. Идеальная линза собирает такие лучи в точку, поэтому в приближении геометрической оптики размер центрального пятна будет много меньше \(d\).

Кольца образуются также параллельными пучками лучей, которые идеальная линза собирает в фокальной плоскости, поэтому толщина колец тоже станет много меньше \(d\).

Светлое пятно "— это свет, прошедший через линзу. Постройте изображение лампочки в линзе и посмотрите, как расходится пучок за изображением и каково сечение пучка на уровне пола.

27,5 см.

Каждое отражение от зеркальной стенки увеличивает угол луча с осью на \(2\alpha\), где \(\alpha\) — угол наклона образующей конуса к оси. Выясните, какая часть входного сечения даёт лучи с одним отражением, какая — с двумя, и под какими углами они выходят. Линза собирает каждый параллельный пучок в точку фокальной плоскости.

1) центральное пятно диаметром \(d\), кольцо ширины \(d\) с радиусом средней линии \(R_1 = 3dL/h\) и кольцо ширины \(d/2\) с радиусом внешней границы \(R_2 = 6dL/h\);  2) пятно превращается в «точку», кольца — в «окружности» радиусами \(R_1' = 3dL/(2h)\) и \(R_2' = 3dL/h\).

1. Рассмотрим пучок лучей, падающих на правое (по рисунку) основание конуса диаметром \(D\). Часть лучей, идущих в пределах круга диаметром \(d\) с центром на оси конуса, проходит без препятствий и образует на экране круглое пятно того же диаметра.

Остальные лучи, прошедшие через входное сечение конуса, испытывают не менее одного отражения от боковой поверхности конуса. Поскольку оптическая схема имеет осевую симметрию, то эти, испытавшие отражения, лучи будут образовывать кольца, с центром в точке пересечения экрана осью конуса. Выясним количество и геометрию этих колец (радиусы и ширину колец, а также возможность их перекрытия друг с другом).

Первое решение: Рассмотрим луч, падающий на самый край входного сечения конуса. До попадания на экран он испытает максимальное количество отражений от боковой поверхности конуса. После каждого отражения от зеркальной поверхности угол между лучом и осью конуса увеличивается на \(2\alpha\), где \(\mathrm{tg}\,\alpha = \dfrac{D - d}{2h} = \dfrac{3d}{2h}\).

Применим для определения числа отражений известный в оптике метод, когда вместо отражения луча от поверхности и изменения его направления, рассматриваем прямую линию луча, отражая вместо него в границе раздела область пространства. При этом вместо ломаной и равнобокой трапеции, соответствующей осевому сечению конуса, получится луч и система трапеций (см. рис.).

Малые и большие основания трапеций при этом почти соответствуют сторонам многоугольников, вписанных в две концентрические окружности.

Радиус внутренней (\(r\)) и внешней (\(R\)) окружностей определяются из соотношений: \(d = 2r\sin\alpha\) и \(D = 2R\sin\alpha\). Тогда отношение радиусов окружностей равно отношению соответственных диаметров конуса: \(R = 4r\). Также несложно получить соотношение: \(h = (R - r)\cos\alpha = 3r\cos\alpha\).

Пусть угол, который образует выбранный луч с радиусом в точке пересечения внутренней окружности, равен \(\beta\), тогда \(\sin\beta = 4\sin\alpha\). Искомое число отражений луча равно целой части отношения: \[x = \frac{\beta + \alpha}{2\alpha}.\] Если применить условие \(D \ll h\), получим, что \(\beta \ll 1\), следовательно, \(\beta \approx 4\alpha\) и \(x \approx 2{,}5\). Численное значение величины \(x\) можно использовать для нахождения числа колец и их ширин. Целая часть соответствует числу полных колец ширины \(d\) (вместе с центральным пятном диаметра \(d\)). Дробная часть соответствует ширине (в единицах \(d\)) последнего неполного наблюдаемого кольца наибольшего радиуса.

Таким образом, при \(x = 2{,}5\) на экране помимо центрального пятна наблюдается ещё два кольца. Первое кольцо имеет ширину \(d\) (полное) и радиус средней линии \(R_1 = 2\alpha L = \dfrac{3dL}{h}\) (см. рис.). Второе кольцо имеет ширину \(d/2\), что соответствует в рамках приближения дробной части числа \(x\), и радиус внешней границы \(R_2 = 4\alpha L = \dfrac{6dL}{h}\).

Второе решение: Рассмотрим влияние «конического зеркала» на параллельный его оси пучок световых лучей. Учитывая очевидную симметрию картины относительно вращений вокруг оси конуса, рассмотрим одно его осевое сечение и лучи, падающие только на одну из боковых сторон получившейся в сечении трапеции.

Обозначим угол полураствора конуса \(\alpha\). Из геометрии находим \(\mathrm{tg}\,\alpha = \dfrac{D - d}{2h} = \dfrac{3d}{2h}\). Так как \(D \ll h\), то \(\alpha\) и все углы того же порядка можно считать малыми. Тогда \(\alpha = \dfrac{3d}{2h}\).

Ясно, что лучи, не испытавшие отражения от поверхности конуса, продолжат идти параллельно его оси и образуют на экране круглое пятно диаметром \(d\).

Лучи, испытавшие одно отражение и попавшие после этого в выходное отверстие, будут идти под углом \(\alpha_1 = 2\alpha\) к оси. Зона отражения этих лучей (\(x_1\)) определяется по точке отражения «крайнего» луча 2 (см. рис.).

С учётом малости углов легко найти ширину этой зоны: \[x_1\cdot(\mathrm{tg}\,\alpha_1 - \mathrm{tg}\,\alpha) = d \;\Rightarrow\; x_1 \approx \frac{d}{\alpha} \approx \frac{2h}{3}.\] Данная группа лучей образует на экране кольцо ширины \(d\) с центром на оси и радиусом средней линии \(R_1 = \alpha_1 L = \dfrac{3dL}{h}\).

Далее, рассуждая аналогично, мы понимаем, что каждое дополнительное отражение увеличивает угол наклона луча к оси ещё на \(2\alpha\). Рассмотрим лучи, отразившиеся от конической поверхности отверстия дважды. Они выйдут из пластины под углом \(\alpha_2 = 4\alpha\) и образуют на экране следующее кольцо. Найдём расстояние \(x_2\) между точками первого отражения пограничных лучей из этой группы.

Так как \(\alpha \ll 1\), то с хорошей точностью \(x_2 = x_1 = 2h/3\). Заметим, что \(x_1 + x_2 = 4h/3 > h\). Это означает, что лучи, испытавшие два отражения, пересекают не всю площадь выходного отверстия. По крайним лучам этой группы (3 и 4) можно определить толщину второго кольца: \(d_2 = d/2\) и радиус его внешней границы \(R_2 = \alpha_2 = \dfrac{6dL}{h}\).

2. Поместим посредине между пластиной и экраном тонкую линзу. По условию \(L = 2F\), значит плоскость экрана является для линзы фокальной, и параллельные пучки лучей сфокусируются. Центральное пятно превратится в «точку» (не в математическом смысле, а в физическом, поскольку дифракционные явления принципиально ограничивают минимальный размер области фокусировки), а кольца — в «окружности». Радиусы «окружностей» (бывших колец) уменьшатся вдвое: \(R_1' = \alpha L = \dfrac{3dL}{2h}\) и \(R_2' = 2\alpha L = \dfrac{3dL}{h}\).