Подъём тела из озера

Подъём медленный: работа равна изменению энергии всей системы, а не одного тела. Что происходит с водой, когда тело выходит со дна? Куда переходит вода, занимавшая объём тела?

\(A=Mg(H+h_0)-\rho Vgh_0\approx147\text{ Дж}\) (при \(g=10\text{ м/с}^2\) — 150 Дж). Не равна: потенциальная энергия самого тела растёт на \(Mg(H+h_0)\approx196\) Дж, а работа на 49 Дж меньше.

Что происходит. Тело поднимают медленно, поэтому его кинетическая энергия не меняется, и работа внешней силы равна изменению потенциальной энергии системы «Земля — тело — вода». Когда тело уходит со дна наверх, вода объёма \(V\) перетекает на его место: этот объём воды как бы переходит с поверхности озера на глубину \(h_0\), и потенциальная энергия воды уменьшается. Озеро велико, уровень не меняется, размеры тела малы по сравнению с \(h_0\) и \(H\).

Обозначения. \(\rho=10^3\text{ кг/м}^3\) — плотность воды, \(g=9{,}8\text{ м/с}^2\). Нулевой уровень энергии — поверхность воды.

1. Изменение энергии тела. Тело поднимается с высоты \(-h_0\) на высоту \(H\) над поверхностью: \[\Delta E_{\text{тела}}=Mg\,(H+h_0)=2\cdot9{,}8\cdot10\approx196\text{ Дж}.\]

2. Изменение энергии воды. Масса \(\rho V=1\) кг воды переместилась с уровня \(0\) на уровень \(-h_0\): \[\Delta E_{\text{воды}}=-\rho Vg\,h_0=-1\cdot9{,}8\cdot5=-49\text{ Дж}.\]

3. Работа. По закону сохранения энергии для системы работа внешней силы равна сумме изменений: \[A=\Delta E_{\text{тела}}+\Delta E_{\text{воды}}=Mg\,(H+h_0)-\rho Vg\,h_0\approx147\text{ Дж}\;(\approx150\text{ Дж при }g=10\text{ м/с}^2).\]

Обратите внимание: изменение потенциальной энергии одного тела — 196 Дж, а работа на 49 Дж меньше. Разность совершила сила давления воды: вода опускается на место тела и отдаёт энергию, а сила Архимеда делает тело «легче» под водой.

Ответ. \(A\approx147\) Дж (\(\approx150\) Дж); работа не равна изменению потенциальной энергии тела: она меньше на \(\rho Vgh_0\approx49\) Дж.

Проверка. Второй способ: под водой нужна сила \(Mg-\rho Vg=9{,}8\) Н на пути \(h_0=5\) м, то есть 49 Дж; над водой — \(Mg=19{,}6\) Н на пути \(H=5\) м, то есть 98 Дж; в сумме 147 Дж (путь через поверхность мал по сравнению с \(h_0\) и \(H\)). Предел: если плотность тела равна плотности воды (\(M=\rho V\)), \(A=\rho VgH\): под водой работа не нужна, над водой она равна \(Mg\,H\) — верно.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.