Две лампы и выключатель

Лампы соединены последовательно, выключатель — параллельно одной из них. Какая лампа должна быть закорочена выключателем и почему при размыкании ток почти не греет другую?

Лампы последовательно, выключатель параллельно лампе 15 Вт. При замкнутом выключателе ток идёт мимо лампы 15 Вт и лампа 75 Вт горит при 220 В. При разомкнутом лампы последовательны: на лампе 15 Вт \(\approx184\) В (мощность \(\approx10\) Вт — горит), на лампе 75 Вт \(\approx37\) В (\(\approx2\) Вт — не светится).

Что происходит. Мощность лампы \(P=U^2/R\), поэтому сопротивление лампы мощнее меньше: при последовательном включении напряжение делится пропорционально сопротивлениям, и бо́льшая доля приходится на лампу 15 Вт. Выключатель, поставленный параллельно лампе 15 Вт, при замыкании «закорачивает» её: ток идёт по проводу выключателя.

Обозначения. \(R_1\) — сопротивление лампы 75 Вт, \(R_2\) — лампы 15 Вт, \(U=220\) В. Сопротивления считаем по номинальным данным.

1. Сопротивления. Из \(P=U^2/R\): \(R_1=\dfrac{220^2}{75}\approx645\text{ Ом}\), \(R_2=\dfrac{220^2}{15}\approx3230\text{ Ом}\); \(R_2=5R_1\).

2. Выключатель замкнут («включено»). Лампа 15 Вт закорочена (сопротивление провода ничтожно, ток через неё не идёт), на лампе 75 Вт полное напряжение \(220\) В: она горит на номинальной мощности 75 Вт.

3. Выключатель разомкнут («выключено»). Лампы включены последовательно, ток общий: \[I=\frac{U}{R_1+R_2}=\frac{220}{645+3230}\approx0{,}057\text{ А}.\] Напряжения: \(U_2=IR_2\approx184\text{ В}\), \(U_1=IR_1\approx37\text{ В}\). Мощности: \(P_2=IU_2\approx10{,}4\text{ Вт}\) (примерно 70 % номинальной — лампа горит), \(P_1=IU_1\approx2{,}1\text{ Вт}\) (3 % номинальной — нить 75-ваттной лампы остаётся почти холодной и не светится).

Обратите внимание: сопротивление нити растёт с температурой, а при мощности 2 Вт нить 75-ваттной лампы почти холодная, её сопротивление меньше номинального, и напряжение на ней ещё ниже 37 В.

Ответ. Лампы включены последовательно, выключатель — параллельно лампе 15 Вт. «Включено»: горит только 75 Вт. «Выключено»: на лампе 15 Вт \(\approx184\) В, она горит; на лампе 75 Вт \(\approx37\) В, она не светится.

Проверка. Размерность: \(U^2/R\) — ватт. Сумма мощностей при разомкнутом выключателе \(P_1+P_2=IU\approx12{,}5\) Вт — та же мощность, что даёт сопротивление \(R_1+R_2\) при 220 В: \(220^2/3875\approx12{,}5\) Вт. Доля напряжения на лампе 15 Вт равна \(\dfrac{R_2}{R_1+R_2}=\dfrac56\), то есть \(183\) В, как и найдено.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.