Два шарика на нитях

Одна и та же доля энергии деформации теряется при каждом ударе — значит, одинаков коэффициент восстановления скорости. Найдите его из первого удара, где левый шар остановился, и примените ко второму.

\(\gamma=\beta\): левый шар после второго соударения отклонится на тот же угол \(\beta\). (При этом масса левого шара меньше, \(M/m=\sin\dfrac\beta2/\sin\dfrac\alpha2\).)

Что происходит. Левый шар (масса \(M\)) налетает на покоящийся правый (масса \(m\)) и после первого удара останавливается, правый уходит вправо, отклоняется на угол \(\beta\) и возвращается: ударяет по покоящемуся левому шару второй раз с той же скоростью. Потери одинаковой доли энергии деформации означают, что при обоих ударах одинаков коэффициент восстановления \(e\) — отношение скорости разлёта к скорости сближения. Найдём \(e\) из первого удара и применим ко второму.

Обозначения. \(l\) — длина нитей, \(v\) — скорость левого шара перед первым ударом, \(u\) — скорость правого после него и перед вторым ударом, \(V\) — скорость левого шара после второго удара, \(u_2\) — правого. \(k\) — доля энергии деформации, переходящая в тепло.

1. Скорости при качании. Пока шар качается (трения нет), сохраняется его механическая энергия: \(\dfrac{Mv^2}{2}=Mgl(1-\cos\alpha)\), поэтому \(v^2=2gl(1-\cos\alpha)\). Правый шар после удара поднимается на угол \(\beta\): \(u^2=2gl(1-\cos\beta)\). При возвращении к нижней точке скорость правого снова равна \(u\).

2. Коэффициент восстановления. В момент наибольшего сжатия шары движутся с общей скоростью центра масс, и вся кинетическая энергия относительного движения \(\dfrac{\mu w^2}{2}\) (\(\mu=\dfrac{Mm}{M+m}\), \(w\) — скорость сближения) равна потенциальной энергии деформации \(W_p\). Доля \(k\) этой энергии уходит в тепло, остальное возвращается в относительное движение: \(\dfrac{\mu w'^2}{2}=(1-k)W_p\), откуда скорость разлёта \(w'=w\sqrt{1-k}\). Значит, \(e=\sqrt{1-k}\) — одно и то же число при каждом ударе.

3. Первый удар. Закон сохранения импульса системы шаров за время удара (нити вертикальны, удар мгновенный): \(Mv=mu\) (левый после удара остановился). Скорость сближения \(v\), скорость разлёта \(u-0=u\): \(e=\dfrac uv\). Из импульса \(u=\dfrac Mm v\), поэтому \(e=\dfrac Mm\). Следовательно, \(M<m\) и \(\dfrac Mm=\dfrac{u}{v}=\dfrac{\sin(\beta/2)}{\sin(\alpha/2)}\).

4. Второй удар. Правый шар со скоростью \(u\) налетает на покоящийся левый. Закон сохранения импульса и определение \(e\) (скорость разлёта равна \(e\,u\)): \[mu=mu_2+MV,\qquad V-u_2=eu .\] Исключая \(u_2\), получаем \(V=\dfrac{(1+e)\,m\,u}{m+M}\). Подставляя \(e=\dfrac Mm\): \(1+e=\dfrac{m+M}{m}\), поэтому \(V=u\).

5. Угол. Левый шар после второго удара движется с той же скоростью \(u\), с какой правый ушёл после первого, и поднимается на ту же высоту: из \(V^2=2gl(1-\cos\gamma)\) и \(u^2=2gl(1-\cos\beta)\) получаем \(\gamma=\beta\).

Обратите внимание: правый шар после второго удара не останавливается: его скорость \(u_2=\dfrac{m-M}{m}\,u\) направлена в ту же сторону, и он отклоняется на угол \(\delta\), \(\sin\dfrac\delta2=\dfrac{m-M}{m}\sin\dfrac\beta2\). Условие «левый остановился» — это именно \(e=M/m\).

Ответ. \(\gamma=\beta\).

Проверка. Числа: \(\alpha=60^\circ\), \(M/m=0{,}5\) (тогда \(\sin\dfrac\beta2=0{,}5\sin30^\circ=0{,}25\), \(\beta\approx29^\circ\)). При \(m=1\), \(M=0{,}5\), \(gl=1\): \(v^2=1\), \(u=ev=0{,}5\). Энергия до первого удара \(0{,}25\), после — \(\tfrac12\cdot1\cdot0{,}25=0{,}125\); потеряно \(0{,}125=(1-e^2)\cdot\tfrac{\mu v^2}{2}=0{,}75\cdot\tfrac13\cdot\tfrac12\) — верно. Второй удар: \(V=u=0{,}5\), \(u_2=0{,}25\), энергия после \(0{,}0625+0{,}03125=0{,}09375\) при энергии до \(0{,}125\); потеряно \(0{,}03125=0{,}75\cdot\tfrac13\cdot\tfrac{0{,}25}{2}\) — та же доля.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.