Колесо на конце вращающегося стержня

Перейдите в систему отсчёта, вращающуюся вместе со стержнем: там ось колеса неподвижна, а земля движется под ним. Какая составляющая скорости земли в точке касания лежит в плоскости колеса?

\(N=\dfrac{l}{r}\cos\alpha\) оборотов.

Что происходит. В системе отсчёта, вращающейся вместе со стержнем, стержень, точка \(A\) и ось колеса неподвижны, а земля вращается вокруг \(O\) в противоположную сторону. Колесо катится по земле без проскальзывания в своей плоскости, вращаясь вокруг неподвижной оси. Поэтому угловая скорость колеса определяется проекцией скорости земли в точке касания на плоскость колеса.

Обозначения. \(\Omega\) — угловая скорость стержня, \(\omega\) — угловая скорость колеса вокруг своей оси, \(v\) — скорость земли под колесом в этой системе.

1. Скорость земли в точке касания. Точка касания лежит под центром колеса \(A\), на расстоянии \(l\) от оси \(O\). В выбранной системе земля вращается вокруг \(O\) с угловой скоростью \(\Omega\), поэтому \(v=\Omega l\); вектор \(\vec v\) горизонтален и перпендикулярен стержню.

2. Составляющие скорости. Плоскость колеса перпендикулярна его оси. Ось составляет угол \(\alpha\) со стержнем, значит, направление в плоскости колеса составляет угол \(\alpha\) с вектором \(\vec v\). Составляющая вдоль плоскости колеса равна \(v\cos\alpha\), поперёк (вдоль оси) — \(v\sin\alpha\). Вдоль оси колесо катиться не может: эту составляющую удерживает сила сцепления (трение большое), она не влияет на вращение.

3. Условие качения без проскальзывания. Скорость нижней точки колеса в плоскости колеса \(\omega r\) должна совпадать с составляющей скорости земли вдоль плоскости: \[\omega r=v\cos\alpha=\Omega l\cos\alpha\;\Rightarrow\;\omega=\Omega\,\frac lr\cos\alpha .\]

4. Число оборотов. За один оборот стержня (\(\Omega T=2\pi\)) колесо поворачивается вокруг своей оси на угол \(\omega T=2\pi\,\dfrac lr\cos\alpha\), то есть делает \[N=\frac{l}{r}\cos\alpha\] оборотов. Вращение стержня происходит вокруг вертикали, поэтому его составляющей вдоль горизонтальной оси колеса нет, и число оборотов вокруг оси одинаково в обеих системах.

Обратите внимание: поперечная составляющая \(v\sin\alpha\) — это скольжение земли вдоль оси колеса. Колесо не может катиться вдоль собственной оси, поэтому эта составляющая на вращение не влияет и гасится силами сцепления и реакцией стержня.

Ответ. \(N=\dfrac lr\cos\alpha\).

Проверка. Предел \(\alpha=0\): ось вдоль стержня, колесо катится по окружности длиной \(2\pi l\), и \(N=\dfrac{2\pi l}{2\pi r}=\dfrac lr\) — верно. Предел \(\alpha=90^\circ\): ось поперёк стержня, плоскость колеса содержит направление стержня, скорость земли перпендикулярна плоскости, колесо не вращается: \(N=0\). Размерность: \(l/r\) безразмерно.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.