Космонавт и два пистолета

Сравните прирост скорости космонавта от выстрела, когда он тяжёл и когда легче. Что можно сделать с пустым пистолетом перед вторым выстрелом?

Стрелять в сторону от корабля по очереди и перед вторым выстрелом выбросить пустой пистолет (отпустить без толчка): тогда масса космонавта в момент второго выстрела меньше, и прирост скорости больше.

Что происходит. Это реактивное движение: пуля уносит импульс, космонавт получает противоположный. При одном и том же импульсе пули прирост скорости обратно пропорционален массе космонавта вместе со всем, что при нём. Чем легче космонавт в момент выстрела, тем больше прирост. Вернуться быстрее — значит набрать большую скорость к кораблю, то есть стрелять в сторону от корабля.

Обозначения. \(C\) — масса космонавта со скафандром, \(p\) — масса пистолета без пули, \(b\) — масса пули, \(u\) — скорость пули относительно пистолета, \(M_0=C+2p+2b\) — полная масса перед стрельбой. Начальная скорость космонавта относительно корабля равна нулю.

1. Оба выстрела сразу. Внешних сил нет, импульс системы «космонавт + пистолеты + пули» сохраняется. Скорость пули относительно корабля \(-(u-V)\) (против движения космонавта): \[(C+2p)V=2b(u-V)\;\Rightarrow\;V_{\text{обоих}}=\frac{2bu}{M_0}.\]

2. По очереди, пистолет остаётся в руке. Первый выстрел: \((M_0-b)V_1=b(u-V_1)\), откуда \(V_1=\dfrac{bu}{M_0}\). Второй выстрел при массе \(M_0-b\) даёт прирост \(\Delta V=\dfrac{bu}{M_0-b}\), больший, чем у первого. Сумма \[V_{\text{по очереди}}=bu\Bigl(\frac1{M_0}+\frac1{M_0-b}\Bigr)>\frac{2bu}{M_0}.\] Выигрыш мал: его даёт только то, что космонавт стал легче на массу пули.

3. По очереди, пустой пистолет отпущен. Отпущенный без толчка пистолет продолжает двигаться вместе с космонавтом, импульс системы не меняется, скорость космонавта тоже, а масса уменьшается ещё на \(p\). Второй выстрел происходит при массе \(M_0-b-p\): \[V=\frac{bu}{M_0}+\frac{bu}{M_0-b-p}.\] Пистолет тяжелее пули, и выигрыш больше. Если пустой пистолет ещё и бросить назад (в сторону, противоположную скорости), скорость космонавта вырастет дополнительно.

Обратите внимание: сравниваются не пули (они одинаковы), а масса, которую приходится разгонять в момент второго выстрела.

Ответ. Стрелять в сторону от корабля по очереди, выбросив пустой пистолет перед вторым выстрелом.

Проверка. Числа: \(C=98\) кг, \(p=1\) кг, \(b=0{,}01\) кг, \(u=300\) м/с, \(M_0=100{,}02\) кг. Одновременно: \(V=0{,}05999\) м/с; по очереди без сброса: \(0{,}05999\) м/с; по очереди со сбросом пистолета: \(0{,}06029\) м/с — на \(0{,}5\,\%\) больше. Пределы: при \(p\to0\) и \(b\to0\) все способы дают \(2bu/M_0\). Размерность: \(bu/M\) — м/с.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.