Трёхколёсный велосипед и верёвка

Оцените момент сил, приложенных к заднему колесу, относительно точки его касания с полом. Какие силы к нему приложены: натяжение цепи и сила со стороны рамы?

Вперёд, в сторону, куда тянут верёвку (для обычных размеров: радиус заднего колеса больше \(r\,r_{\text{з}}/r_0\)).

Что происходит. Верёвка тянет нижнюю педаль вперёд и стремится повернуть шатун в сторону педалирования назад; шатун удерживает цепь, и натяжение её нижней ветви тянет заднюю звёздочку вперёд. Куда покатится заднее колесо, решает суммарный момент приложенных к нему сил относительно точки касания с полом — мгновенной оси качения.

Обозначения. \(F\) — сила, с которой тянут верёвку; \(r\) — длина шатуна, \(r_0\) — радиус передней звёздочки, \(r_{\text{з}}\) — радиус задней звёздочки, \(R\) — радиус заднего колеса, \(T\) — натяжение нижней ветви цепи, \(O\) — точка касания заднего колеса с полом. Массой рамы пренебрегаем.

1. Передний узел «педаль + шатун + звёздочка». Сила \(F\) приложена к педали на расстоянии \(r\) ниже оси каретки и стремится повернуть узел по часовой стрелке (велосипед смотрит влево). Цепь уравновешивает её нижней ветвью, потянув звёздочку к заднему колесу: правило моментов для узла (он почти не имеет массы) \(Fr=Tr_0\), откуда \(T=\dfrac{r}{r_0}F\). Верхняя ветвь цепи провисает.

2. Сила рамы на колесо. Горизонтальные силы на узел: \(F\) вперёд, \(T\) назад, и \(T-F\) вперёд со стороны рамы (если \(T>F\)). Значит, узел давит на раму назад с силой \(T-F\). Рама не имеет массы, и её горизонтальное равновесие даёт: на ось заднего колеса рама действует с силой \(T-F\) назад.

3. Момент сил на заднее колесо относительно \(O\). Цепь тянет нижний край задней звёздочки вперёд с силой \(T\) на высоте \(R-r_{\text{з}}\) над полом: момент \(T(R-r_{\text{з}})\) вращает колесо вперёд. Рама тянет ось назад с силой \(T-F\) на высоте \(R\): момент \(-(T-F)R\). Вес и реакция пола момента относительно \(O\) не создают (вес приложен над \(O\), реакция — в \(O\)). Сумма: \[M_O=T(R-r_{\text{з}})-(T-F)R=FR-Tr_{\text{з}}=F\Bigl(R-\frac{r\,r_{\text{з}}}{r_0}\Bigr).\]

4. Направление. При \(R>r\,r_{\text{з}}/r_0\) момент положителен: колесо вращается вперёд, и велосипед катится вперёд. Для обычного велосипеда \(R\approx35\) см, \(r\approx17\) см, \(r_{\text{з}}/r_0\approx0{,}5\), то есть \(r\,r_{\text{з}}/r_0\approx9\) см \(\ll R\): условие выполняется с большим запасом.

Обратите внимание: сила \(F\) тянет вперёд, а педаль при этом поворачивается назад (нижняя педаль идёт вперёд — это вращение, обратное рабочему). Именно передаточные числа цепи и размеры колеса определяют знак момента, а не направление, в котором педаль «хочет» двигаться.

Ответ. Велосипед сдвинется вперёд, в сторону, куда тянут верёвку.

Проверка. Размерность: \(F\,R\) — момент силы. Предел \(r_{\text{з}}\to0\) (цепь действует у самой оси): \(M_O=FR>0\). Предел \(r\,r_{\text{з}}/r_0>R\) (очень крупные шатуны и звёздочки): момент отрицателен, и по этой оценке колесо покатилось бы назад.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.