Максимальный угол отклонения тяжёлой частицы

Перейдите в систему центра масс: там импульсы частиц до и после упругого удара одинаковы по модулю и могут отличаться лишь направлением. Постройте, куда может «смотреть» импульс тяжёлой частицы в исходной системе.

\(\sin\alpha_{\max}=\dfrac mM\) (при \(m<M\); если \(m\ge M\), тяжёлая частица может отклониться на любой угол).

Что происходит. Удар упругий, поэтому в системе центра масс частицы после удара имеют те же по модулю импульсы, что и до него, а направление может быть любым. Переход обратно в лабораторную систему прибавляет к импульсу тяжёлой частицы вектор \(M\vec v_{\text{ц}}\). Конец вектора её импульса лежит на окружности; максимальный угол — у касательной к этой окружности.

Обозначения. \(\vec v\) — скорость тяжёлой частицы до удара (лёгкая покоится), \(\vec v_{\text{ц}}=\dfrac{M}{M+m}\vec v\) — скорость центра масс, \(\alpha\) — угол между импульсом тяжёлой частицы после удара и направлением \(\vec v\).

1. Система центра масс (движется равномерно, поэтому инерциальна). Импульс тяжёлой частицы до удара \(\vec p=M(\vec v-\vec v_{\text{ц}})=\dfrac{Mm}{M+m}\vec v\), лёгкой — \(-\vec p\) (суммарный импульс в системе центра масс равен нулю).

2. Упругий удар. Сохраняются импульс и энергия \(\dfrac{p^2}{2M}+\dfrac{p^2}{2m}\); суммарный импульс остаётся нулевым, поэтому у частиц после удара импульсы \(\vec p\,'\) и \(-\vec p\,'\), и из сохранения энергии \(|\vec p\,'|=p\). Направление \(\vec p\,'\) любое.

3. Лабораторная система. Импульс тяжёлой частицы после удара \(\vec P'=M\vec v_{\text{ц}}+\vec p\,'\). Начало вектора \(\vec P'\) — в точке \(O\), конец — на окружности радиуса \(p\) с центром в конце вектора \(M\vec v_{\text{ц}}\).

4. Максимальный угол. Угол между \(\vec P'\) и направлением \(\vec v\) наибольший, когда \(\vec P'\) касается окружности. Из прямоугольного треугольника (радиус к точке касания перпендикулярен касательной): \[\sin\alpha_{\max}=\frac{p}{Mv_{\text{ц}}}=\frac{Mmv/(M+m)}{M^2v/(M+m)}=\frac mM .\] Касательная существует, если точка \(O\) вне окружности, то есть \(Mv_{\text{ц}}>p\), или \(M>m\). При \(M\le m\) точка \(O\) внутри окружности (или на ней), и тяжёлая частица может отклониться на любой угол.

Обратите внимание: окружность проходит через конец вектора \(M\vec v\) — это импульс тяжёлой частицы без удара (скользящий удар).

Ответ. \(\sin\alpha_{\max}=\dfrac mM\).

Проверка. Предел \(m=M\): \(\sin\alpha_{\max}=1\), \(\alpha_{\max}=90^\circ\) — частицы равной массы разлетаются под прямым углом. Предел \(m\ll M\): \(\alpha_{\max}\approx m/M\) мал — тяжёлая частица почти не отклоняется. Размерность: отношение масс безразмерно.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.