Столкновение катящейся и покоящейся труб

При ударе без трения вращение не передаётся, и массы равны: что происходит с поступательными скоростями? После удара обе трубы скользят по полу, пока скорость оси не сравняется с \(\omega R\).

После удара \(v_1=v\), \(v_2=0\), \(\omega_1=0\), \(\omega_2=v/R\). До \(t_0=\dfrac{v}{2\mu g}\): \(v_1=v-\mu gt\), \(\omega_1=\dfrac{\mu gt}{R}\), \(v_2=\mu gt\), \(\omega_2=\dfrac{v-\mu gt}{R}\). При \(t\ge t_0\) обе катятся: \(v_1=v_2=\dfrac v2\), \(\omega_1=\omega_2=\dfrac{v}{2R}\).

Что происходит. Удар упругий и гладкий: силы между трубами горизонтальны и проходят через оси, момента они не создают, поэтому вращение при ударе не меняется, а поступательные скорости у труб равной массы обмениваются. Дальше пол трением скольжения доводит обе трубы до чистого качения.

Обозначения. Труба 1 — покоившаяся, труба 2 — катившаяся; \(v_0\) — её скорость (модуль \(\vec v\) из условия), \(v_i\) — скорость оси, \(\omega_i\) — угловая скорость в ту сторону, в которую вращалась труба 2 при качении; \(I=mR^2\) — момент инерции тонкостенной трубы относительно оси; \(t\) отсчитывается от момента удара.

1. Удар. Удар мгновенный, трение пола за его время не успевает изменить скорости. Для поступательного движения (законы сохранения импульса и механической энергии системы двух труб): \[mv_0=mv_1+mv_2,\qquad \frac{mv_0^2}{2}=\frac{mv_1^2}{2}+\frac{mv_2^2}{2}.\] Решения: \(v_1=v_0\), \(v_2=0\) (скорости обмениваются). Вращение не изменилось: \(\omega_1=0\), \(\omega_2=v_0/R\).

2. Труба 1 после удара. Она скользит по полу вперёд, не вращаясь: нижняя точка движется вперёд со скоростью \(v_0\), поэтому сила трения скольжения \(\mu mg\) направлена назад. Второй закон Ньютона для оси: \(ma=-\mu mg\), откуда \(v_1=v_0-\mu gt\). Уравнение вращения относительно оси: \(I\varepsilon=\mu mgR\), откуда \(\varepsilon=\dfrac{\mu g}{R}\) и \(\omega_1=\dfrac{\mu gt}{R}\).

3. Труба 2 после удара. Ось стоит, труба вращается с \(\omega_2=v_0/R\): нижняя точка движется назад со скоростью \(\omega_2R=v_0\), сила трения \(\mu mg\) направлена вперёд. Поэтому \(v_2=\mu gt\), \(\omega_2=\dfrac{v_0}{R}-\dfrac{\mu gt}{R}\).

4. Конец проскальзывания. Скольжение прекращается, когда скорость нижней точки обращается в нуль, то есть \(v=\omega R\). Для трубы 1: \(v_0-\mu gt_0=\mu gt_0\); для трубы 2: \(\mu gt_0=v_0-\mu gt_0\) — то же уравнение: \[t_0=\frac{v_0}{2\mu g}.\] В этот момент \(v=\dfrac{v_0}{2}\), \(\omega=\dfrac{v_0}{2R}\) у обеих труб. Дальше трения нет (трение качения не учитывается), скорости остаются постоянными.

Обратите внимание: сумма поступательных скоростей остаётся равной \(v_0\) при \(t\le t_0\) (\(v_1+v_2=v_0\)): трения труб направлены противоположно и сумма импульсов не меняется.

Ответ. После удара \(v_1=v_0\), \(v_2=0\), \(\omega_1=0\), \(\omega_2=v_0/R\). До \(t_0=\dfrac{v_0}{2\mu g}\): \(v_1=v_0-\mu gt\), \(v_2=\mu gt\), \(\omega_1=\dfrac{\mu gt}{R}\), \(\omega_2=\dfrac{v_0-\mu gt}{R}\). При \(t\ge t_0\) обе трубы катятся: \(v=\dfrac{v_0}{2}\), \(\omega=\dfrac{v_0}{2R}\). Графики — прямые, сходящиеся при \(t_0\), далее горизонтальные.

Проверка. Энергия: после удара \(E=\dfrac{mv_0^2}{2}+\dfrac{I}{2}\Bigl(\dfrac{v_0}{R}\Bigr)^2=mv_0^2\); в конце \(2\cdot\Bigl[\dfrac{m}{2}\dfrac{v_0^2}{4}+\dfrac{mR^2}{2}\dfrac{v_0^2}{4R^2}\Bigr]=\dfrac{mv_0^2}{2}\). Потеряна половина энергии — работа трения скольжения; потери каждой трубы по \(mv_0^2/4\). Размерность: \(v/(\mu g)\) — время.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.