Пузырьки в лимонаде

Что действует на пузырёк при всплытии и как каждая сила зависит от радиуса? Сравните, как при росте радиуса растёт подъёмная сила и как — сопротивление воды.

Подъёмная сила пузырька растёт как \(R^3\), сопротивление — как \(R^2\) (или \(R\)), поэтому установившаяся скорость всплытия растёт с радиусом (\(v\sim\sqrt R\) при турбулентном сопротивлении): крупные пузырьки всплывают быстрее и оказываются над мелкими.

Что происходит. Пузырёк всплывает: сила Архимеда тянет его вверх, сопротивление воды — вниз. Скорость быстро становится установившейся: подъёмная сила равна силе сопротивления. Нужно выяснить, как эта скорость зависит от радиуса \(R\).

Обозначения. \(\rho\) — плотность лимонада (воды), \(\rho_{\text{г}}\) — плотность газа в пузырьке, \(\sigma\) — поверхностное натяжение, \(p_0\) — давление над жидкостью, \(V=\tfrac43\pi R^3\).

1. Подъёмная сила. Сила Архимеда за вычетом веса газа: \(F=(\rho-\rho_{\text{г}})\,gV\). Газ в пузырьке (углекислый газ) в сотни раз легче воды: \(\rho_{\text{г}}\sim2\text{ кг/м}^3\) при \(\rho=10^3\text{ кг/м}^3\). Плотность газа пропорциональна давлению в пузырьке \(p_0+\dfrac{2\sigma}{R}\) (добавка Лапласа), но для \(R\sim1\) мм она \(\dfrac{2\sigma}{R}\approx140\) Па, то есть около \(10^{-3}\) от \(p_0\) — плотность газа от \(R\) почти не зависит. Поэтому \[F\approx\rho g\cdot\tfrac43\pi R^3\sim R^3 .\]

2. Сопротивление воды. При всплытии с заметной скоростью (число Рейнольдса велико) сопротивление пропорционально площади сечения и квадрату скорости: \(F_{\text{с}}=\tfrac12C\rho\pi R^2v^2\), где \(C\approx0{,}5\). У совсем маленьких пузырьков сопротивление вязкое, \(F_{\text{с}}=6\pi\eta Rv\) (формула Стокса); качественный вывод тот же.

3. Установившаяся скорость. Из равенства \(F=F_{\text{с}}\): \[v=\sqrt{\frac{8gR}{3C}}\sim\sqrt R \quad(\text{турбулентное сопротивление}),\qquad v=\frac{2\rho gR^2}{9\eta}\sim R^2\quad(\text{вязкое}).\] В обоих режимах скорость растёт с радиусом. При \(C=0{,}5\) и \(R=1\) мм получаем \(v\approx0{,}23\) м/с, при \(R=0{,}25\) мм — \(v\approx0{,}11\) м/с.

4. Следствие. После встряхивания пузырьки разных размеров рассеяны по всему объёму. Крупные за одно и то же время поднимаются выше, чем мелкие, поэтому у поверхности они оказываются над мелкими.

Обратите внимание: вес газа и добавка давления \(2\sigma/R\) малы, и они не дают зависимости, обратной полученной; от радиуса зависит только отношение подъёмной силы к сопротивлению.

Ответ. Скорость всплытия растёт с радиусом пузырька (\(v\sim\sqrt R\) при турбулентном и \(v\sim R^2\) при вязком сопротивлении), поэтому крупные пузырьки поднимаются быстрее и располагаются над мелкими.

Проверка. Размерность: \(\sqrt{gR}\) — м/с. Отношение сил \(F/F_{\text{с}}\sim R^3/R^2=R\) растёт линейно с радиусом, как и в решении книги. Предел \(R\to0\): скорость стремится к нулю — мельчайшие пузырьки почти висят в жидкости.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.