Диск обкатывает диск вдвое большего радиуса

Сначала рассмотрим движение малого диска по внешней поверхности большого. Пусть малый диск повернулся на угол \(\Delta\varphi\) вокруг большого (см. рисунок). Если бы малый диск не вращался вокруг своей оси (для этого он должен был бы проскальзывать по большому), его радиус, связывающий точку, которой он касался большого диска с его центром в начальном положении, остался бы параллельным самому себе и в конечном положении (эта точка отмечена на рисунке цифрой 1). Поэтому угол между отрезком, связывающим центры дисков в конечном положении, и радиусом малого диска, проведенным в точку 1, был бы равен \(\Delta\varphi\) (на рисунке этот угол отмечен дугой). Из-за отсутствия проскальзывания рассматриваемая точка вращается по часовой стрелке и окажется в положении 2, причем из-за отсутствия проскальзывания длина дуги малого диска, связывающая точку 2 и точку касания дисков в конечном положении, будет равна длине дуги большого диска между точками касания малого диска в начальном и конечном положении, т.е. \(2R\,\Delta\varphi\). Таким образом, длина дуги между точками 1 и 2 равна \(R\Delta\varphi+2R\Delta\varphi=3R\Delta\varphi\), и, следовательно, малый диск повернется на угол \(3\Delta\varphi\) вокруг своей оси. А значит, число оборотов малого диска вокруг своей оси \(n\) будет равно \[n=\frac{3\Delta\varphi}{2\pi}.\]

Аналогично рассматривается движение малого диска по внутренней поверхности большого. Однако, как легко увидеть, углы его поворота вокруг большого и своей оси будут вычитаться (а не складываться, как в первом случае), поэтому при повороте малого диска вокруг большого на угол \(\Delta\varphi\) он совершит \[n_1=\frac{\Delta\varphi}{2\pi}\] оборотов вокруг своей оси.